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so ist kn^ 1, und es wird in den Punkten der Menge Ü)J!„ die aus 5Df„ durch Ähnlichkeitstransformation 

 im Verhältnisse ^„ ; 1 hervorgeht: 



;/ n n n 



// 1 , ,, , 1^ + 1 



-—(u„+l) /'+ — 



Und da die Menge W„ in <: /?, +oo) liegt, wäre also Bedingung 1. von Satz Via für die Klasse g^ 

 nicht erfüllt, 



XXVIIö. "Genügt cp (n) allen zu Beginn von Satz XXVII aufgezählten -Bedingungen, so ist, damit in 

 jedem Punkte x des beliebigen Intervalles (a, b), der für die in -=c a, b ->- zur Klasse g^ gehörige Funktion/ 

 ein Stetigkeitspunkt ist, Formel (6) gelte, notwendig und hinreichend, daß cp {n) auch der Bedingung (12) 

 genüge. Ist auch Bedingung (12) erfüllt, so gilt (6) gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a', &':> von 

 (a, b), in dessen sämtlichen Punkten/ stetig ist.« 



Eines Beweises bedarf hier nur die Behauptung, daß die Bedingung (12) notwendig ist. Wäre sie 

 nicht erfüllt, so gäbe es wieder eine Folge, etwa in <: /?, + oo) gelegener Mengen 9Kj, Slij, . . . , W,,, ■ • ■ mit 

 von verschiedenem Inhalte, so daß in den Punkten von W,,'- 



(14) |(ß(M)|> — . 



Es gäbe also auch eine in <: h, +oo) gelegene Punktfolge ?ij, m.,,. . ., #„,. . . und in < u-n, u^ -\ >- 



n 



gelegene Mengen 9Jl„ mit von verschiedenem Inhalte, auf denen (14) gilt. 

 Sei X ein Punkt von (a, b). Wir wählen ein e >- gemäß: 



und setzen: 



k„ = ^^; ii=k„(i-x). 



Gehört dann k„. (i—x) zur Menge Wt,,, das heißt gehört 4 zur .Menge SOf*, die aus Wl„ durch die lineare 

 Transformation u = k„. (^ — x) entsteht, so haben wir wegen (14): 



i-x 



Die Menge 9Ji* aber liegt im Intervalle <: .v+s, -v + 3 H :> der Veränderlichen i Wegen 



11 kl, 



k„ ^ 1 liegen diese Intervalle für hinlänglich großes n in -<:.r + 3, Z? >-, so daß für den Kern: 



'f (6, -r, 7«)=:/e„'f (Ä„(4-.r)) 

 sicherlich Bedingung 1. von Satz VI nicht erfüllt ist. 



§ 14. Konvergenz an Ihistetigkeitsstellen. 



Besonders einfach gestaltet sich für den jetzt betrachteten Typus singulärer Integrale die Anwendung 

 der Sätze von §§ 7, 8 und 9, wenn wir bemerken, daß hier die Bedingung: 



lim 'f {i, X, U) — für id^ x 

 /(■ = + 00 



gleichbedeutend ist mit: 



(1) lim w«tp(M) = 0; lim M.tp(M.) = 0, 



