Darstellung gegebener Funktionen. 641 



und daß wegen: 



öS' 8 x' 



jede der Beziehungen: 



8' 8' 

 lim — : tp (i, x, k) ^ 0\ lim ^ cf (5, .r, *) =: für ^zjr a- 



A- = + oo 84' A = + oo 8a'' 



gleichbedeutend wird mit: 



( 1 a) lim u' + 1 (0® («) = ; lim m' + 1 «p« (m) =r . 



II = — 00 i( = + 00 



Durch Anwendung von Satz XIV t/ und XV a finden wir also: 



XXVIII. Sei (p(?(.) eine für alle reellen /(definierte Funktion, die eine in jedem endlichen 

 Intervalle absolut stetige (wz— l)-te Ableitung besitzt, und es sei: 



(2) lim w'" '!>('" -i)(m) = 0; lim «'" 'f('" -"(«) = . 



« = — 00 « = + 00 



Ferner existiere das verallgemeinerte Integral: 



tp (w) du ^z j tp (m) ti//. = CO, 



A J-00 ' 



und es sei sein Wert (ü::^0. Endlich existiere das Integral: 



(4) p°°,(("'(p('")(M)| du. 



J— 00 



Dann gilt für jede in i— 00, +00) zu einer der Klassen gj, g.,, ^.^ gehörige Funktion/die 

 Beziehung: 



(5) , /W— ""' — / j \'ij'^\.'^\<i~-^})""i 



lim - r°/(|)(p(^(|-;^))rf^ 



= + 00 (0 J_oo 



in jedem Punkte .v, in dem/;K-te Ableitung seines ;//-fach iterierten unbestimmten Integrales 

 ist.Ist'-pi'/i) eine gerade Funktion, so gilt (5) in jedem Punkte.r, in dem/verallgemeinerte 

 ni-ie Ableitung seines /»-fach iterierten unbestimmten Integrales ist. 



Zum Beweise bemerken wir, daß gleichzeitig mit 'p''"'->) auch 'p*'""-',. . ., -p' und z in jedem endlichen 

 Intervalle absolut stetig sind. Daraus und aus der Existenz des Verallgemeinerten Integrales (3) folgt 

 ohneweiters: es gibt Punktfolgen //„, ü,„ n\\\ ü\i> mit: 



(6) lim /(„ := + 00, lim «„ = 00, Hm uf =:; + 00, lim «<;] = - 00. 



w = cx) ». = 00 /i = 00 » = 00 



für die: 



(7) lim 'p («„) = Ü, lim cp(M„) — 0. lim 'p''") (/(Xp) — 0, lim tp » («7«) = u=l, 2 ml). 



11 = 00 11 — 00 11 — 00 n — 00 



.Aus (2) folgt: ist ; >- beliebig gegeben, so gibt es ein A, so daß: 



|(o("'-i)(«)| < - für 11.^ A. 

 // 



Und daraus folgt durch Integration (für n^ A und hinlänglich großes u): 



I 'p("' -2) (u) - 'p("' -2) (n^»' -2)) I ^ 



£ 



/// — 1 



1 1 



M"'-| (?/(;"-2))"'-' 



Denkschrifieii der mathem.-naturw. Klasse, 9'-i. Band. gß 



