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Also haben wir für alle u>h: 



r-n ßi .''+00 



J— 00 'f Ja 



womit Bedingung (7) \'on Satz XXX'I nachgewiesen ist. — Und durch Ungleichung (llj ist gleichzeitig 

 Bedingung (12) von Satz XXX'II als erfüllt nachgewiesen. 



Daraus folgt aber, wie die Beweise von XX\', XXM und XXVII gezeigt haben, das Bestehen der 

 Bedingungen 1., 2. und 4. von Satz XIV a für jede der Klassen ^j, 55.,, ^-.,. — Um einzusehen, daß auch 

 Bedingung 3. von Satz XIV a erfüllt ist, schreiben wir: 



(i-x)'" — --'s{ix,n) d^— l l'"' + i ti,"'^("''>(ku)\dH= 1 \u"''f<"'Hn)\du, 



und dieser Ausdruck liegt, wegen der vorausgesetzten Existenz des Integrales (4), tatsächlich für alle 

 k ^ 1 unter einer endlichen Schranke A". 



Damit ist Satz XXVIII bewiesen. Man beweist ebenso: 



XX\'lIIi/. »Cienügt 'f («j den \'oraussetzungen von Satz XX\'[II, sd gilt für jede in <. a, h :>■ zur 

 Klasse 5"i gehörige Funktion /'die Beziehung 



(12) f{x)= lim ~rf{^)'^{k{i--x))di 



J- = + oo (0 Ja 



in jedem Punkte x von {a, b), in dem/w-te Ableitung seines /«-fach itei'ierten unbestimmten Integrales ist. 

 — Ist 'S, (») eine gerade Funktion, so gilt n2) in jedem Punkte x von {a, b), in dem /verallgemeinerte ;;/-te 

 Ableitung seines /»-fach iterierten unbestimmten Integrales ist.« 



§ 15. Differenziation der Integrale des Weierstraßschen Typus. 



Durch I5erul'img auf die Sätze XV'lif. XVIh;, Xl.\'</ linden wir: 



XXIX. Es genüge 'f («j allen V'oraussetzungen von Satz XXVIII. Damit in jedem Punkte .r, 

 in dem die in(— c», +00) zur Klasse 5:; gehörige P'unktion /' eine endliche Ableitung iiiAev 

 Ordnung besitzt, die Beziehungen gelten: 



(1) /(^)= lim — r°°f(i)'^(k(^-x-))di, 



l,i+i ,''+00 



h 1 + 1 1' '-l tPU 



(2) ß'>(x)— lim ( — 1/- I f[^)'f"'^(kii x))di {1—1,2 



ist notwendig und hi nreichend, daß das Integral (4) \-onJ; H existiere. Ist dies der Fall, so 

 gelten die Beziehungen ( 1 ), (2) gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle, in dem/;;/-mal 



stetig differenzierbar ist. Ist -i i;m eine gerade Funktion, so kann die Ableitung/''* (.v) durch 



die verallgemeinerte Ablei tung/w (x) ersetzt werden. 



Die Bedingung ist hinreichend fauch für die gleichmäßige Konvergenzi. Es genügt zu beweisen, 

 daß für den Kern 



'i («, k) r= --'- s {ktn 



(0 



alle Voraussetzungen und Bedingungen \on Satz .XIXw erfüllt sind; zunächst gilt tatsäciilich die Beziehung: 

 (3j lim 'i,'^'" - ^' (;it, k) = lim -^ a«.'" -v (_/,'• JH — u 



