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gleichmäßig in jedem endlichen, den Nullpunkt nicht enthaltenden Intervalle -< a, ß >, wie unmittelbar 

 aus (2) von § 14 folgt; denn sei etwa; 



<: a -=c ß. 



Wegen (2) von § 14 ist, bei beliebig gegebenem s >- 0; 



\u"' (p("'-i) (M)| < z für n ^ ,4. 



Daher weiter für alle n von <:«, ß>-: 



I ^'" ^(m -1) (jf ;fe) I < _L für /fe ^ -^ , 



womit das gleichmäßige Bestehen von (3) in <: a, ß >- bewiesen ist. 



Bedingung 1. von XIX a für die Klasse Jg ist erfüllt, wenn für jedes /?;> die Kerne ^ {u, k, h) und 

 'iW(2^, li, h) (/ =: 1, 2, . . ., ;») der Bedingung 1. von Satz Illa genügen. Für den Kern (}) («, k, h) haben wir 

 schon beim Beweise von Satz XXV gezeigt, daß dies tatsächlich aus der Existenz des Integrales 



r 



J—oc 



\(s {n)\ du 



folgt. Zeigen wir es nun für den Kern ({)'" (ti, k, h). 

 Es wird wieder genügen zu zeigen, daß: 



(4) 



lim r°°\'^^Hit,k,h)\ du=0 



= + oo J— CJO 



ist, da daraus das Bestehen der Bedingung 1. von III tz für den Kern i|jW (», k, h) ebenso gefolgert werden 

 kann, wie beim Beweise von Satz XXV das Bestehen dieser Bedingung für den Kern tjj (|, x, n, s) aus der 

 dortigen Relation (4) gefolgert wurde. / 



Um (4) zu beweisen, beachten wir, daß : 



(5) 



1 4« {u, k, h)\du = W I tp« {ku) \ du+ \ I cp® {kti) \du)=i 



^/ ( p—kh r'+oo \ 



— — 11 l^'-''^ (u)\du+ I \'f(''i(ti) \ duS. 



W \J-oo Jkh j 



f 



J— c 



Wegen der in § 14 bewiesenen Existenz des Integrales: 



|m' tpW (m)| dti 



gibt es zu einem beliebig vorgegebenen £>-0 ein A, so daß: 



X— u /^+ oo 



|ti' rp(') (ii)| (^11 <:s; I |t;' cpW (t))j (^ü <: £ für « ^ ^, 

 CO Ju 



und somit auch: 



I 



■u 



<s(') {v)\ dv < ; / \'d('Hv)\ dv <. für-»^^, 



oo ' »' Jn ' M' 



woraus man sofort entnimmt: 



X-kh ^ n+oo j ^ 



|(p(') (m)| dM < — ; k' |(D» (m)| ^«^ < — für ^ ^ — . 



oo h' Jhi, h' h 



Damit ist, im Hinblick auf (5), Beziehung (4) dargetan und mithin bewiesen, daß Bedingung 1. von 

 Satz XIX a erfüllt ist. 



