DarsteUnug gegebener Fiuikfwnni. 645 



Daß Bedingung 3. von XIX ß erfüllt ist, entninnmt man daraus, daß: 



X+oo ^"' + 1 C+oo 1 /^+ CO 

 |h"' 'fC") {ii, k)\du = / \u"' (f("') (ktt)\dn = \u" cpC") {ti,)\ du 



ist. Daß Bedingung 4. von XIX a erfüllt ist, ist evident. 



Gleichung (6) lehrt aber auch, daß die Bedingung von Satz XXIX notwendig ist, ^ womit dieser 

 Satz völlig bewiesen ist. 



Ebenso beweist man: 



XXIX a. »Es genüge 'f(/t) allen Voraussetzungen von Satz XXVIII. Damit in jedem Punkte .r des 

 beliebigen Intervalles (a, h), in dem die in <: a, b >- zur Klasse gg gehörige Funktion / eine endliche 

 Ableitung w-ter Ordnung besitzt, die Beziehungen gelten: 



(7) fix) = lim A p/i^) ,^ (fe (4_,.)) äi, 



(8) /« (X) = lim (~ ly — ffd) ?(0 (^ (4-.r)) J| (/ = 1, 2, . . ., w), 



ist notwendig und hinreichend, daß das Integral (4) von § 14 existiere. — Ist dies der Fall, so gelten die 

 Beziehungen (7), (8) gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a', b' :>- von (a, b), in dem/7M-mal stetig 

 differenzierbar ist. — Ist rp (/() eine gerade Funktion, so kann die Ableitung/'-'' (.r) durch die verall- 

 gemeinerte Ableitung_/'') (,t) ersetzt werden.« 



Wir wenden uns nunmehr der Frage nach der Gültigkeit der Formeln (1), (2) für Funktionen der 

 Klassen gi und 5^, zu. 



XXX. Es genüge cp («) allen Voraussetzungen von Satz XXVIII. Damit in jedem Punkte x, 

 in dem die in (—0°, +<») zur Klasse '^., gehörige Funktion / eine endliche Ableitung in-tev 

 Ordnung besitzt, die Beziehungen (1), (2) bestehen, ist notwendig und hinreichend, daß das 

 Integral (4) von § 14 existiere, und daß folgende Bedingung erfüllt sei: zu jedem/7>-0 

 gehört ein A, so daß für 11 ^ h: 



(9) " - ^ ' ■ ^ 



— « J r +00 



('jW (v))' dv < ; / ('i('") (v)y-dv 



Sind diese Bedingungen erfüllt, so gelten die Beziehungen (1), (2) gleichmäßig in 

 jedem endlichen Intervalle <: ß', ^' >-, in dem/«^-mal stetig differenzierbar ist. — Ist'f(zt) 

 eine gerade Funktion, so kann die Ableitung /^'') (.r) ersetzt werden durch die verall- 



gemeinerte Ableitung/'') (;t). 



Die Bedingungen sind hinreichend. Es braucht nur mehr gezeigt zu werden, daß Bedingung 1. 

 von Satz XIX a für die Klasse %.^ erfüllt ist: es genügt also zu zeigen: zu jedem Ji :> gibt es ein AI, so 

 daß für alle k^l: 



(10) [""""('^ ("> *, l'))- du < M, 



J—00 



X+co 

 ('\>(0 (u, k, h)y du<.M («=1,2,..., m). 



Wir schreiben: 



X+oo h2 (1 + 1) ( r— h /'t 00 \ 



('])« (n, k, h)y- du = I I ('jW {ku)y- du + / ('f» (yfen))- du) = 

 00 w- U-00 ' Jll ) 



7,21 + 1 c r'—kh r'+oo \ 



W- (J-00 Jkh ] 



1 Und zwar nicht nur, wenn / zu gfs gehört, sondern auch, wenn / zu fj-^ oder jjo gehört. 



