646 H. Hahn, 



Benützt man (9), so hat man daher weiter: 



X+oo 9 4 



womit (llj für / ^ ;/« bewiesen ist. Für / = 1, 2,. . ., ;;i— 1, sowie für (10) folgt dies wieder aus (12), 

 beziehungsweise der analogen Formel für -i (7/, l\ h), wenn man bemerkt, daß es wegen der Stetigkeit 

 von 'f, 'i', . . ., rp("'-i) und wegen (9) von § 14 eine Konstante B gibt, so daß für alle 11 die Ungleichungen 

 bestehen; 



I r^ (ti) I < ^ , 'f ('^ («) < — ^ (2 =1 1, 2, ... , m - 1). 



Die Bedingungen sind notwendig. Für die das Integral (4) von § 14 betreffenden Bedingung haben 

 wir das schon oben bemerkt. ^ Was (9) anlangt, so nehmen wir an, diese Bedingung sei nicht erfüllt. 



Es gibt dann einen Wert /; :> und eine sei es in <: /;, +<»), sei es in ( — 00, — // >• liegende 

 Punktfolge u^, ii.„. . ., ii,„. . ., tür die die entsprechende der beiden Beziehungen: 



"+ 00 4 fiiii 



(%("" (iny du = -^-^ ' ; (cc("') {ii)Y du 



A.., 



mit: 



lim An ^ + 00 

 11 = 00 



gilt. Nehmen wir etw'a ersteren Fall an und setzen: 



(13) n.n = K'li, 



so haben wir /;„ ^ 1 und: 



i 



•+00 ^+00 A 



('£!'") {II])- du = /■, , ('!.(•'•> ik.„ iny du = ^ 



n <.'ihi_ 'hl 



oder wegen (13): 



.1, ' Ji'"'^ 



es wäre also für 6^"'> (11, Ä'„, h) Bedingung 1. x^on .Satz XVI a für die Klasse ^•., nicht erfüllt. 



Damit ist .Satz XXX nachgewiesen. In analoger Weise (man vergleiche den Beweis von Satz XXVI a) 

 zeigt man: 



X.XX (7. Es genüge 'i (//) allen Voraussetzungen von Satz XXVlli. Damit in Jedem Punkte .r des 

 beliebigen Intervalles (a, b), in dem die in <:ci,b:> zur Klasse J^-,, gehörige Funktion/ eine endliche 

 .Ableitung /H-ter Ordnung besitzt, die Beziehungen (7), (8) gelten, ist notwendig und hinreichend, daß das 

 Integral (4) von § 14 existiere und daß folgende Bedingung erfüllt sei: zu jedem /;• > gehört ein A, so 

 daß für w ^ Ji : 



X~" 4 r+00 A 



('it'") („j)2 Jh < ; \ ('f('"){tl)ydu 



1,2 III + 1 



Sind diese Bedingungen ei'füllt, so gelten die Beziehungen (7), (8) gleichmäßig in jedem Teilintervalle 

 <; a', b' >- von (a, b), in dem/w-mal stetig differenzierbar ist. — Ist rp (ti) eine gerade Funktion, so kann 



die -Vbleitung/"-' (.1') ersetzt werden dinxh die verallgemeinerte .\bleitimg/'" (.r)." 



1 .Vnmerkung auf p. Gl [645]. 



