iJLirslclItiug iici^ehcucj' l'nuklioucu. 647 



XXXI. In Satz XXX kann die Klasse g-., ersetzt werden durch die Klasse g^, wenn 

 Bedingung (9j ersetzt wird durch die Bedingung: zu jedem /;>>0 gibt es ein .4, so daß 

 (abgesehen \' o n Null m engen): 



ä 



(15) W'"Xu)\ < für \n\ ^ /?. 



' ' !h.|"' + i 



Bedingung HS) ist hinreichend. Es genügt, gemäß Satz XIX a für die Klasse ^-j, nachzuweisen: 

 Zu jedem Ji :>- gibt es ein M, so daß (abgesehen von Nullmengen) für alle k'^l: 



I d) (ii, k, h) I < M\ I 'M''^ (n, k, 7i) \ <: .1/ (i =1,2,..., in). 



Aus (15) und den Beziehungen (9) von § 14 folgt, daß es zu jedem Ii :> ein B gibt, so daß für 

 I"! ^!r. 



I 'S (u) j <. ; I ffiW (m) ; <: ^ — (•/ = 1, 2, . . . , ■;;/) . 



I M I ' I « I ' + 1 



Infolgedessen ist für |;/! > /; und fe> 1: 



— 'i (liu) 



; ?» (^7/) ! < — (/ = 1, 2,. . ., ;;/), 



(0«/; (0 : (0 •/;'+' 



womit Bedingung 1. von XIX ^/ für ]^^ nachgewiesen ist. 



Bedingung (15) ist notwendig. Wäre sie nicht erfüllt, so hieße das: es gibt ein //>- imd eine 

 sei es in -< A, +oo), sei es in ( — oo, — /;. > gelegene Folge von Mengen iW^, ilJL,. . ., 9)f,„. . . mit von 

 \-erschiedenem Inhalte, derart, daß in den Punkten von 9J?„: 



|(j(«)(„)| > *! 



ist. Nehmen wir etwa an, diese Mengen liegen in <: /;, +oo). Es gibt dann auch eine Folge \'on Punkten 

 u„ (^ h), so daß der in <: //„, //„ +1 :^ liegende Teil ;«„, ^von W.,, nicht den Inhalt hat. Setzen wir: 



so ist />'„ ^ 1, und es wird in den Punkten der Menge W„, die aus "iil,, durch Ähnlichkeitstransformation 

 im Verhältnisse k„ : 1 entsteht: 



U,. ; \ Kl 



so daß also Bedingung 1. von Satz X\'I für die Klasse ^^ nicht erfüllt wäre. 

 Analog beweist man (vergleiche den Beweis von Satz XXMIa): 



XXXI tr. -In Satz XXX a kann die Klasse }'%, ersetzt werden durch die Klasse ^-j, wenn Bedingung 

 (14) ersetzt wird durch Bedingung (15).' 



§ i6. Singulare Integrale vom P(Msson"schen T}'pus. 



Wir betrachten nun einen Typus singulärer Integrale, den wir, weil in ihm das aus der Potential- 

 theorie bekannte Poisson'sche Integral als Spezialfall enthalten ist, als den Poisson'schen Typus 

 bezeichnen wollen. 



Sei ■s(tt) eine in ( — /, /; definierte, im Nullpunkt verschwindende Funktion der Gestalt: 



(1) -S (U) — % !7(]'' + (0(7f) •;»''', 



