Darstellnug gegebener Funktionell. 649 



und da hierin li und -q beliebig waren, so ist das gleichbedeutend mit 



t = + oo J^-f \+k''S(u) 



Wir seilen also, daß wir in (3) wählen können: 



1- C '•"'• ^~ 



lim k r I -; ; y^ = 2 . a lü (p) . 



1 i_ 1 J_ 

 c (k) := — aj' kr ■ 



2 Q{p) 



Wir können nun den Satz beweisen: 



XXXII. Sei tp (u) eine in ( — Z, /) gegebene Funktion der Form (1), (2), deren untere Grenze 

 in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden Teilintervalle <: a, ß>- von ( — /, /) positiv ist. 

 W\\.ü{p) werde der Wert (6) bezeichnet. Dann gilt für jede in <:a, ß + />- zur Klasse gj 

 gehörige Funktion /^ die im Punkte ,v von (a, a + l) stetig ist, die Formel: 



(8) nP P ra + l Ai 



f(x) = — lim k / /(l) ^ 



2Q(p) A= + oo J„ ' i+/.a)(i5_,r) 



Diese Formel gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a', b' >- von (a, a + D, in dessen 

 sämtlichen Punkten/stetig ist. 



Zum Beweise haben wir uns nur auf Satz XVIII zu berufen, Ist -< a, ß >- ein den N'uUpunkt nicht 

 enthaltendes Teilintervall von ( — /, /), so haben wir nach Voraussetzung in <: a, ß >-: 



'f (m) > ■8' > 



und somit, wenn : 



i 



rs (?/., ß) = k} 



2ü(p) l+/fetp(«) 



gesetzt wird: 



j_ j_ 



(9) ^ . , aP kP 



-< 'i ( II, li) < 



2Q(';7) H-/'f)- 

 so daß : 



lim 'i (II, k) =: 



gleichmäßig in -=ca, ß >- ist, wie Voraussetzung (T) von Satz X\'I11 verlangt. 



Daß Hedingung ?,. imd 4. von XVIII erfüllt sind, folgt aus der wegen (oi gültigen Beziehung: 



lim j 'i> (;/, k) du =: lim 1 \'s in, k 



, /fc)] du = 1. 



Einen bekannten .Spezialfall erhält man, indem man füt i — /, /) das Intervall ( — 2 z, 2 z) wählt und: 



'P (u) =: 1 — cos n 

 setzt. Man erhält so: 



1 .. ,i r' + 2^... di 



/■('.VI = p. lim k'i l ' f(i) 



;- . v / 2 /■ = + CO / , 



>\^/2 i.- = + co J., " H-/>'(1 cosCl-.r)) 



Setzt man hierin: 



_ 2r 



und multipliziert unter dem Limeszeichen mit dem Faktor: 



1 + r 



2\/r 



DeiiUschriflen der nialhein.-n;ilui\v. Klasse, 9;i. Band. j^7 



