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dessen lim gleich 1 ist, so erhält man die bekannte Poisson'sche Formel: 



■ 1 r^' 1 — r- 



f(x)= lim /© di. 



2t. >-=i-o Jo 1 -2r cos (^-.t) +r''- 



Die Übertragung von Satz XXXII auf unendliche Intervalle gelingt leicht durch Berufung auf 

 Satz XVIII a: 



XXXII ß. »Sei cp (ii) eine für alle reellen u definierte Funktion der Gestalt (1), (2), deren untere Grenze 



in jedem endlichen, den Nullpunkt nicht enthaltenden Intervalle positiv ist. iVlit Q (p) werde der Wert (6) 



bezeichnet. Es gilt dann die Formel: 



1 

 (10) ^p i_ r+'x n 



f(x)= -^— lim kv \ f(i) 



2ü(ji) k = + oo J-oo l+Jim{i—.v) 



in jedem Punkte ,r, in dem/stetig ist: a) für alle Funktionen, die in ( — co, +oo) zur Klasse g^ gehören 

 wenn: 



(1 1) lim cp (m) :> 0; lim «p (u) >- 0. 



11 = — OO M = + 00 



bj für alle Funktionen, die in (— oo, +00) zur Klasse ^■., gehören, wenn (11) erfüllt ist und: 



(12) n-^ä^^_ 



existiert; c) für alle Funktionen, die in ( — 00, +00) zur Klasse %g gehören, wenn fl 1) erfüllt ist und: 



•+<» du 



(13) 



X 



- 00 1 + «p («) 



existiert. In allen diesen Fällen gilt (10) gleichmäßig in jedem endUchen Intervalle <: a', Z;' >-, indessen 

 sämtlichen Punkten /stetig ist.« 



In der Tat, ist Bedingung (11) erfüllt, so gibt es zu jedem // >- ein O- >- 0, so daß in (^00, —h ;> 

 und in <: Ji, 4-00): 



'f(«)>9-- 



In diesen Intervallen ist daher Ungleichung (9) erfüllt, und somit | tp (7;, /^) | geschränkt für alle /• 

 Damit ist Bedingung 1. von XVIII a für die Klasse ^j nachgewiesen. 

 Ferner hat man in den genannten Intervallen: 



l+(p(«) 1 + tp (m) 1 ■ö'+l 



1+/^ tp (h) k rp (m) ä i> 



Existiert also das Integral (12), so hat man: 



r + 00 aP iP r'^°° ^^^ 

 (tp (m, /i)y du = k — — - — — — 



2 o( ^ ^ 



4(Q(;?))2 \ {> ] j„ (!+?(«)) 



Es sind also gewiß die Integrale: 



P°°((p (m, li)Y du und f '(? («, W du 



Jh J— 00 



geschränkt für alle /^^ 1. Damit ist Bedingung 1. von XVlIIa für die Klasse 5., nachgewiesen. 



