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Ebenso beweist man, wenn das Integral (13) existiert, die Ungleichung: 



I 'i (it, Ic) dii<= 



1 



ßC;') a- Jk !+?(») 



woi'aus man entnimmt; 



lim I cp (//, /?) li// = 0; lim I rs (//., li) du = 0. 



Daraus aber kann man, wie wir nun schon wiederholt gesehen haben, weiter schließen, daß für jede 

 Folge von Zahlen k,i mit lim ^„= + 00 der zum Kerne: 



n = 00 



olP u P 1 

 'i Ui, n) = «« 



2Q{p) \+k„'^{n) 



gehörige Kern tjj («, 11, h) für jedes A :> in (—00, +00) der Bedingung 1. von Satz III a genügt, so daß 

 Bedingung 1. von XVIII für die Klasse 5^3 nachgewiesen ist. Damit ist Satz XXXII ß bewiesen. 

 Als einfachsten Spezialfall erwähnen wir: ^ 



ffi («) =: //-. 



Man erhält so, indem man noch 



setzt, die in jedem Stetigkeitspunkte einer Funktion /^ die in (—00, +00) einer der drei Klassen 5^, %.-^, %.^ 

 angehört, gültige Formel: 



(14) /(.r)=-lim / /(?)—: ^a,. 



TT P = +0 J_oo 



1 K.. r°°^..^ L 



§ 17. Konvergenz an Unstetigkeitsstellen und Differenziation. 



Wir wenden auch auf unseren jetzigen Typus singulärer Integrale Satz XI\' und XV, beziehungs- 

 weise XIV« und XV a an. Wir erhalten: 



XXXIII. Es genüge (p («0 außer den Voraussetzungen von Satz XXXII (beziehungsweise 

 den Voraussetzungen von Satz XXXIIa für die Klasse g,) noch folgenden Bedingungen: 's («) 

 besitzt in einer Umgebung des Nullpunktes eine absolut stetige {m — l)-te Ableitung und es 

 sind in dieser Umgebung, abgesehen von einer Nullmenge, die Ungleichungen erfüllt: 



( 1) I 'f ('^ (•//) \<A\n\J'-' (/ = 1 , 2 ;;/) ; 



dann gilt Gleichung (8) (beziehungsweise (10)), von § 16 in jedem Punkte .v von {a, a -\- t) 

 (beziehungsweise in jedem Punkte ,r), indemdiezurKlassegj (beziehungsweise zur Klasse {^i) gehörige 

 Funktion/w-te Ableitung ihres /«-fach iterierten unbestimmten Integrales ist. — Ist außer- 

 dem in einer Umgebung des Nullpunktes: (p (—?{):= 'f (/;), so gilt (8) (beziehungsweise (10)) von 

 § 16 in jedem Punkte x von {a, a + l) (beziehungsweise in jedem Punkte .r), in dem/ verall- 

 gemeinerte OT-te Ableitung seines w-fach itererierten unbestimmten Integrales ist. 

 Wir haben nachzuweisen, daß der Kern: 



(2) 0.1' J'' 1 



? (S, X, li) = 



2Ü{p) \ + k-j}{i.-x) 



1 Es ist dies gleichzeitig ein Spezialfall des Weierstraß'schen Typus. 



