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allen Voraussetzungen und Bedingungen von Satz XIV genügt. Beachten wir zu dem Z\\'ecke, daß die 

 •/-te Ableitung von eine Summe aus einer endlichen Anzahl von Summanden der Form: 



ist, wo für die Exponenten die Gleichheiten gelten: 



(4) j^ + '^u+...+iji = i 



(5) j^+j,+ ....+Ji-J. 

 In der Tat gilt dies für / ^ 1 : 



i 1 _ k'^' (li) 



a 



du \ + l''^(n) (1 + /.' CS (?())'- 



und kann allgemein durch vollständige Induktion bewiesen werden, die genau so verläuft, wie beim 

 analogen Beweise in § 12. 



Zunächst sehen wir, daß in einer Umgebung der Stelle x für izjz.r die Beziehung (1) von § 7: 



(6) lim — cp (<;, x, k)=.0 (Z zu 1 , 2, . . . , /// — 1) 



i' = + oo 8 ^' 



8' 

 besteht: in der Tat, zufolge (2) und (3) enthält jeder Summand von — - cp (|, x, k) im Zähler den Faktor 



8^' ' 



i+- 1 



k V , während der Nenner groß wird wie (tp (;/) Äy+^ Da cp (ii) df. und — <: 1 ist, folgt unmittelbar (6). 



Es bleibt noch nachzuweisen, daß Bedingung 3. von Satz XIV erfüllt ist, oder, was dasselbe ist, daß 

 für ein hinlänglich kleines v >- eine Ungleichung besteht: 



1 rt 1 d'" 1 



(7) ¥¥{ ii 



f I du^" 1 + k^ (u) 



Nun besteht 



d'" 1 



du. <. N für alle li>. 1 



rfw'" 1 + ^ !p (m) 



aus einer endlichen Anzahl Summanden der Form (3). Wegen (1) von § 16 ist hierin, wenn // >> beliebig 

 und dazu y ;> hinlänglich klein gewählt wurde: 



\+h tp (») > 1 -4- /e (a _ //) | « \v^ 



und somit ist, wegen der Ungleichungen (1), das Integral in (7) kleiner als eine endliche Anzahl Summan- 

 den der Form (C bedeutet eine Konstante): 



CkV"' du; 



indem wir die Substitution k^' .« = t; vornehmen und (4) und (5) beachten (für l = iii), sehen wir, daß hierin 

 alle Faktoren k sich vollständig wegheben und dieser Ausdruck übergeht in: 



-'' i ■ t VPJ 



CJ '' -TT—, 7Z—r-.dv\ 



p 

 wegen /7 >> 1 aber existiert das Integral: 



r 



d V , 



^ (l + (a— /f.) ü^^y+t 

 womit (7) nachgewiesen ist. Der Beweis von Satz XXXIII ist damit beendet. 



