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F'ür das Poisson'sche Integral wurde der einfachste Fall dieses Satzes uii =: l) zuerst \'on P. Fatoii^ 

 bewiesen. 



Durch Anwendung von Satz XIX erhalten wir den Satz: 



XXXIV. Es genüge rp (;/i außer den Voraussetzungen von Satz XXXII nach folgenden 

 Bedingungen: 'f (h) besitzt eine in jedem Teilintervalle <: a, [i :> von ( — /,/) absolut stetige 

 (;;/ — l)-te Ableitung und es sind in jedem solchen Teilintervalle (abgesehen von einer Null- 

 menge) Ungleichungen der Gestalt: 



(8) I'fW (/,,j| < ^4 \u\''^' (i -^1,2,..., ;//.) 



erfüllt. Dann gilt in jedem Punkte ,v von (a, ß + /j, in dem die in <: a, a + / >- zur Klasse ^i 

 gehörige Funktion/eine endliche Ableitung in-ter Ordnung besitzt, die Formel: 



i 1 



(9) .^ aP i'' r" + ' 8' 1 



/0(.ir) = lim k f(i) äi (i = 1, 2,. . ., ;»). 



2Q(p)i= + oo X • dx' l + k'^a-x) 



Diese Beziehung gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle < a', Z'' >- von (a, a + /), in 

 dem_f;;z-mal stetig differenzierbar ist. — Genügt 'f (ji) in einer Umgebung des Nullpunktes 



der Beziehung rp ( — h) =: 'f (u), so gilt (9) auch für die verallgemeinerte /-te Ableitung/»-''-' {x). 

 Beim Beweise hat man nur zu beachten, daß in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden Teilinter- 

 valle <: a, ß >- von ( — /, /) die Beziehung: 



lim /^ ::::; 



i- = + oo du'"-''- l + Ä;(p(M) 



gleichmäßig gilt. In der Tat gilt nach den in Satz XXXII über 's {u) gemachten Voraussetzungen in 

 <:a, ß >> eine Ungleichung: 



rp (u) :>{)•>> 0, 



woraus nach der oben besprochenen Form von 



d'"-^ 1 



dW"-'^ 1 + Ä (f (u) 



die Behauptung unmittelbar folgt. Damit ist die X'oraussetzung (3) \'om Satz XIX erwiesen. Daß die 

 übrigen Bedingungen dieses Satzes gelten ist evident. 



Im speziellen Falle des Poisson'schen Integrales wurden die Behauptungen unseres Satzes bewiesen 

 von Ch. J. de la Vallee-Poussin. - 



Für unendliche Intervalle erhalten wir durch Berufung auf Satz XIX t/ : 



XXXIV rt. »Es genüge a (zt) den zu Beginn von Satz XXXlKr gemachten Voraussetzungen. 



Ferner besitze rp (h) eine in jedem endlichen Intervalle absolut stetige (/« — Dte Ableitung und es 

 seien in (^oo, + oo) Ungleichungen der Form: 



( 1 1) 'f <'^ (») < .4 I u 1 1'-' (i = 1 , 2, . . . , ;;/") 



erfüllt. Dann gilt in jedem Punkte ,r, in dem die in i — oo, + ooi zu einei' der Klassen ^•,, %.,, %.. gehörige 

 Funktion/ eine endliche Ableitung ;//-ter Ordnung besitzt, die Formel: 



1 Acta Matb., Bd. 30, p. 340, 373. Vgl. aucli H. Lebcsgue a. a. 0., p. 87, und \V. Groll, Sitziingsber. .\Uad. Wien, .'Xbl. IIa. 

 Bd. 124, p. 1020. 



- Acad. Hruxelles, Bull. Clnsse des Sciences 190S, p. 24."). 



