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(12) aP 1 r+°° 8' 1 



Sie gilt gleichmäßig in jedem endlichen hitervalle <: a', b' >-, in dem / ;w-mal stetig differenzierbar 

 ist. — Genügt » (//) in einer Umgebung des Nullpunktes der Beziehung tp ( — ?;.) = cp («), so gilt (12) auch 



für die verallgemeinerte /-te Ableitung/^'-' (.-i:).'< 



Es genügt, nach dem schon Bewiesenen, zu zeigen, daß Bedingung 1. von Satz XlXa erfüllt ist. 



Zeigen wir dies zunächst für die Klasse %^. Wir setzen: 



1 



«y J_ 1 



, ,, , • kp • außerhalb <: — //, h :> 



4 (//, /.', /?) = \2Q(p) 1 + yfe cp (it) 



in < —li,li->. 



und haben nach (10): 



\') (u, k, h)\ < -^ , 



2Q(p) l + k^..hP 



also ist i'j) («, k, ]t)\ geschränkt für alle // und alle k. 



Ferner haben wir, unter Benützung von (3), (4), (5), (10) und (11), wenn durch das Symol S eine 



Summation über eine endliche Zahl von Summanden angedeutet wird: 



1 



(13) , ,. , \-^ ^ aP — y \u\P'-' 



Y" («, k, h) < y C k r U (■/ = 1 , 2, . . . ,m), 



"^ ' " L: 2Q(p) (l + ß./fe |«|i')M ' . ' /. 



und indem wir /i \ii\p r= h schreiben, haben wir außerhalb <; —h, /;. >-: 



I tl® (u, k 7z) I < y C — h 



' ' ' ^ 2Q(p) 



(p) (1 + ß t;) 



j+i 



Es ist also, da — <: 1 ist, auch (|jW (ti, k, h) («' = 1, 2, . . ., m) geschränkt für alle u und alle k. — 

 P 

 Damit ist Bedingung 1. von XIX a für die Klasse gj nachgewiesen. 



Wir gehen sogleich über zur Klasse {^.j, da für die Klasse 1^2 der Nachweis ganz analog ist: Aus (13) 

 entnehmen wir sofort: 



f 



J—<. 



Zfi P i. . r'+oo nPj— ' 

 C— Äy'M du, 



1 



oder vermöge der Substitution: v =z kP 'ii 



1 



(14) C^ , ,-, , , V ^ «y — C+°° vPJ~^ 



" ' ' d V . 



r+oo v' a.P — r+ 

 \6('> (u, k, h)\ dn<: ) C kP / , 



,,,, (i + ß^'O^- 



Nun haben wir: 



vPJ-' 1 



(l + ßj;P)-/+i ßi+i 



infolgedessen : 



v 



-i'+p) 



X+ CJO 

 kP .h 



+ 00 1)^7-' 1 1 i-i 



dv < h- ('+;'-!) k-'--^, 



— (l+ß ?;'')' + ' ß-' + l 7 + 7' -1 



