Dar.'^tcUuug i^cgehciicr Fiinklioiicu. 655 



und, indem man dies in (14) einführt und berücksichtigt, daß je >- 1 ist: 



'-•+00 



1 { ijj('> in, /;, h ) I du <: ck- ''■ (vj > 0) . 



Wir haben also: 



1 '!;"■)(;//, k, h)\ du — O, 



lim / 



woraus zusammen mit der ähnlich zu bestätigenden Beziehung: 



X+oo 

 I 'b dl, k. Il) I d II = 

 oo 



nach einem schon wiederholt durchgeführten Schlüsse folgt, daß Bedingung 1. von XIX a für die Klasse 

 gg erfüllt ist. 



Wenden wir die Sätze XXXlll und XXXIV (.7 auf den Spezialfall rp («)=: «- an, so sehen wir: 

 Formel (14) von § 16 gilt für jede in (— <», + oo) einer der Klassen g^, g.,, g^ angehörende Funktion /, in 

 jedem Punkte, in dem /verallgemeinerte m-te Ableitung seines in-fach iterierten unbestimmten Integrales 



ist; und in Jedem Punkte, in dem /'eine verallgemeinerte in-te Ableitung /("'^ (x) besitzt, wird sie (für 

 jedes «/) dargestellt durch: 



1 r+oo 9"' 1 

 n 5) /('») (x) = — lim p . f (f) di . 



Nun ist bekanntlich: 



:= \ c'''- cos KU dk: — 



p-^ + «" X du'" p2 + «2 J^ j^i'. 



:= / e~''"'' cos A//JX ; =: / c-''- cosXii dX (p :> 0) 



i 



\Vir können Formel (14) von § 16 also auch so schreiben: 



2 ,"+ oo ( .^+ oo /-■+ oo 1 



16) fix)— — lim I f(^)\ \ (?-p>- cos Xi.cosX,Vi/X + / n—f'- sin X| • sin /..r i/XW6. 



Sie gilt in dieser Form für jede Funktion von {5t, S"-' O'isr (y„ in jedem Punkte, in dem/\'erallgemeinerte 

 ;»-te Ableitung seines /»-fach iterierten unbestimmten Integrales ist. Die Formel (15) besagt, daß in jedem 

 Punkte, in dem /eine verallgemeinerte ;».-te .Ableitung besitzt, diese aus (16) dLirch ;;/ unter den Integral- 

 zeichen auszuführende Differenziationen nach x gewonnen wii\l. 



Gehört /speziell zu ',S"i, so existieren die .Ausdrücke: 



I "+ oo j /-•+ oo 



,4 Ck) = -- I / (h) cos a| d-\ B (}.) — — I /" (4) sin ). | di. 



^ t/— oo ^ t/~- oo 



Dann kann ('16') auch so geschrieben werden: 



t oo 



ü?) f(x)= lim I t'-r-'- (.4 (X) cos X.r+ß (X) sin /..r) (//., 



? = + " J. (I 



und stellt für das Fourier'sche Integraltheorem das Analogon zurPoisson'schen Summierung 

 der Fourier'schen Reihe dar. Formel (17) gilt für jede in ('— oo, + ooi absolut integrierbare Funktion /" 

 an jeder Stelle, wo sie verallgemeinerte ;;/-te Ableitung ihres «/-fach iterierten unbestimmten Integrales ist. 

 Wo eine verallgemeinerte ?//-te Ableitung von /existiert, wird sie aus (17) gewonnen, indem man unter 

 dem Integralzeichen 7;7-mal nach .v differenziert. 



