ÜBER DIE DARSTELLUNG GEGEBENER 

 FUNKTIONEN DURCH SINGULARE INTEGRALE 



2. MITTEILUNG 



VON 



HANS HAHN 



(BONN) 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 11. MAI 1916 



In dieser zweiten Mitteilung setze ich meine Untersuchungen über singulare Integrale fort, und wende 

 sodann die erhaltenen Resultate auf die Theorie der orthogonalen Funktionensysteme an. Es wird zunächst 

 als Maß der Approximation des singulären Integrales: 



an die darzustellende Funktion / (.r) das Integral über den absoluten Betrag des Fehlers: 



R„= r[fix)-ijf,x)\dx 



betrachtet. Unter sehr allgemeinen Bedingungen gelingt der Nachweis, daß: 



lim i?„ = 



«= oo 



ist. Von diesem Satze werden Anwendungen auf einige Spezialfälle, insbesondere auf die üblichen Summa- 

 tions\erfahren der Fourier'schen Reihe gemacht. 



Sodann wird die Giltigkeit des sogenannten Parseval'schen Theoremes näher untersucht, und zwar 

 sogleich für beliebige orthogonale Funktionensysteme. Es handelt sich um die Gleichung: 



f f{x)g{x)dx= Y^f.g., 



V = 1 



WO /,, ^., die »p-ourier'schen Konstanten« von /(;i:) und ^ (.r) in Bezug auf ein vollständiges, normiertes 

 Orthogonalsystem bedeuten. Es ist bekannt, daß diese Gleichung gilt, wenn die Quadrate von/(.v) \indg{x) 

 integrierbar sind. Ein anderer typischer Fall, indem das Integral des Produktes f{x)'g{x) sicher existiert, 

 ist der, daß von den beiden Funktionen / (.r) und ^' (.r) die eine integrierbai', die andere geschränkt ist. Es 

 gelingt eine sehr einfache, notwendige und hinreichende Bedingung anzugeben, der ein Orthogonalsystem 

 genügen muß, damit auch in diesem Falle die fragliche Formel gelte. Eine ebenso einfache Bedingung ist 



Denk.schriflen der mathem.-naturw. Klasse, 93. Band, gg 



