658 H. Hahn, 



notwendig und hinreichend dafür, daß die Formel immer gelte, wenn von den zwei Funktionen / (at) und 



g {x) die eine integrierbar, die andere von geschränkter Variation ist. Im Falle der trigonometrischen Reihen 



ist die erste dieser Bedingungen nicht erfüllt, wohl aber die zweite. Sodann werden Summationsverfahren 



für die Reihe: 



oo 



1 = 1 



entwickelt, die stets gegen: 



I 



f{x)g(x)dx 



konvergieren, wenn von den zwei Funktionen /(.r) und ,§ (x) die eine integrierbar, die andere geschränkt 

 ist. Im Falle der trigonometrischen Reihen entspricht jedem der bekannten Summationsverfahren auch ein 

 analoges Summationsverfahren für die Reihe: 



■•&■- 



v=l 



Wendet man auf das singulare Integral /„(/, x) die Parseval'sche Formel an, so erhält man Summations- 

 verfahren für die Reihenentwicklung von /nach den Fimktionen eines Orthogonals^ystemes. Versteht man 

 unter /,j (/] .r) ein Integral, das gegen die OT-te Ableitung von/ (.r) konvergiert (ich habe solche Integrale 

 in meiner 1. Mitteilung eingehend bebandelt), so erhält man Prozesse, die aus der Reihenentwicklung von 

 f {%) nach den Funktionen des Orthogonalsystemes Ausdrücke herleiten, die gegen ß"'\x) konvergieren 

 überall, wo diese Ableitung existiert. Die Anwendung auf trigonometrische Reihen ergibt neben den be- 

 kannten Summationsverfahren bei Benützung der wohl einfachstmöglichen Kerne eine Kette sich immer 

 verschärfender ^'erfahren, deren zwei erste Glieder die sogenannten Riemann'schen Summationsx'erfahren 

 sind; ferner erhält man Summationsverfahren iür die durch ;;/• maliges gliedweises Differenzieren der 

 Fourier'schen Reihe gebildeten Reihen, die überall gegen /'"> {x) konvergieren, wo diese Ableitung existiert. 



Es hätte wohl keine Schwierigkeiten, all dies auch für kontinuierliche Orthogonalschaaren durch- 

 zuführen, deren wichtigstes Beispiel die Theorie der Fourier'schen Integrale bildet. Ich habe mich auf eine 

 Bemerkung aus der Theorie der Fourier'schen Integrale beschränkt, die das Annalogon des Poisson'schen 

 Summationsverfahrens, das ich in meiner ersten Mitteilung angegeben habe, sowie das Analogon des 

 Summationsverfahrens von de la Vallee-Poussin betrifft. 



I. 



Unter Benützung eines Gedankens von W. H. Young^ beweisen wir den Satz: 



I. Sei (p (^6, ,r) eine im Rechtecke « ^ ? ^ Z', a' ^ ,ir^ Z?' meßbare Funktion der zwei Ver- 

 änderlichen X, i. Als Funktion von .rsei sie für alle Werte ^ aus <: a, &>-, abgesehen von 

 einer Nullmenge, integrierbar" in <: fl.', &'>-, und es gebe ein ilf, so dass, wieder abgesehen 

 von einer Nullmenge: 



(1) 



r'bi 



I \^{i, x)\dx <: M für alle i von <:a, b: 



Ja/ 



1 Comptes lendus, Bd. 155 (1912), p. 30. 



2 Das Wort »integrierbar« wird stets im Sinne der Lebesgue'schen Integration gebraucht. 



