Darstellimg gegebener Funktionen. 659 



Ist dann/(i) eine in <: a, &>> integrierbare Funktion, so existiert das Integral: 



(2) ■ i{f,x)= rfi^)^(^,x)di 



für alle x von ■< a', b', > abgesehen von einer Nullmenge, und ist eine in < a', Z?' >- integrier- 

 bare Funktion von x. 



Wir beweisen den Satz zunächst unter der Annahme; 



(3) w(i,x)^0; /©^O. 



Bezeichnen wir mit <!>., (i, x) die Funktion, die aus/(^)«'f (?, x) entsteht, indem man alle Werte dieses 

 Produktes, die > v sind, durch v ersetzt, so existiert das Doppelintegral: 



I / <J>v ii x) di dx 

 und man hat bekanntlich:^ 



4>, (a, X) di dx =1 *v (a, X) dx \ dl 



Ja \tjaf j 



Wegen Voraussetzung (1) existiert nun das Integral: 



r /©[ r T a X) dx\ di = n nm rv (^, .t) dx\ d^ 



und nach einem bekannten Satze hat man daher weiter, da ^., (6, x) mit v monoton wächst: 



f(i)l 'f (i, X) dx\ di = hrn^ U *, (i, X) dx\di; 



wegen (4) aber heißt das nichts anderes als: es existiert das Doppelintegral: 



rb rbi 

 (5) 



r i^ f{^'^{i,x)didx. 



Ja Jal 



Nach dem schon vorhin benutzten Satze von Fubini existiert dann auch, abgesehen von einer Null- 

 menge, das Integral: 



X 



stellt eine in <: a', b' :> integrierbare Funktion von x dar, und es ist: 



^b'f rb \ ■ rb rbi 



(6) 



r'i r / (I) 'f Ä X) ^i] dx = r r/n) ^ a, x) di dx. 



Jal \Ja I Ja Jal 



Damit ist Satz I nachgewiesen unter der Annahme (3), und es ist obendrein der Wert des Inte- 

 grales 



"l(J,x)dx 



Jal 



durch ein Doppelintegral ausgedrückt. 



Jal 



Den allgemeinen Fall führt man auf diesen speziellen zurück, indem man setzt: 



9 (I, X) = (p, (I, X) - '^., ii, X) (?, (5, .r) ^ 0; 'f, {i, x) ^ 0), 



/ (I) =/, (?) -f. («) C/i (I) ^ 0; /, (£) ^ 0). 



1 Siebe etwa Ch. J. de la Vallee Poussin Cours d'analyse infinitesimale, II (2. cd), p. 122 (»Theoreme de M. Fubini<). 



