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Unter Berufung auf (6) ergänzen wir die Aussage von Satz I durcli: 



I'. Unter den Voraussetzungen von Satz I existiert das Doppelintegrai (5) und der 



Wert von: 



'''l{f,x)dx 



r 



Ja/ 



ist gleich diesem Doppelintegrale. 

 Eine weitere Ergänzung von I lie 

 I". Ersetzt man in Satz I die Voraussetzung (1) durch die Voraussetzung, es sei das Quadrat von: 



Eine weitere Ergänzung von I liefert der ebenso zu beweisende Satz: 



4>(S)=p'|(p(|,^)! dx 



Ja/ 



integrierbar in <: fl, &>>, so gilt die Behauptung von Satz I für jede Funktion/, deren Quadrat in 

 *c ö, Z' >> integrierbar ist. — Ersetzt man in Satz I die Voraussetzung (1) durch die Voraussetzung, 

 es sei $ (i) integrierbar in <: a, ö >-, so gilt die Behauptung von Satz I für jede in < a, /; > ge- 

 schränkte, meßbare Funktion / 



Wir denken uns nun den Kern tp (i, x) noch abhängig von der natürlichen Zahl ii. und setzen, 

 wo dieses Integral existiert: 



Ja 



dann können wir folgenden Satz beweisen: 



IL Sei < a', &':> ein Teil Intervall von <: «, b^-,^ und es sei cp (^, .r, m) meßbar im Recht- 

 ecke a^i-^b, a'^x^b'. Abgesehen von einer Nullmenge sei f (^, x, n) für jedes x von 

 <: a', b' >- nach i integrierbar in < a, Z' >-. Ferner genüge tp (6, x, n) folgenden Bedingungen- 



1. Es gibt ein M, so daß für alle x von <: a', b':>-, abgesehen von einer NuUmenge, 

 und für alle n: 



£ 



b 



(f {i, X, n)\ di<:M. 



2. Es gibt ein M, so daß für alle 5 von <: a, & >-, abgesehen von einer Nullmenge, 

 und für alle n: 



r-bl 



I jtp (I, X, vi)\ dx <. M. 



Ja' 



3. Abgesehen von einer Nullmenge, gelte für alle x von <: a', Z?' :> folgendes: für jede 

 im Intervalle <: a, Z? >- der Veränderlichen ? gelegene Punktmenge %x, die im Punkte x 

 die Dichte- 1 hat, sei: 



lim / rp (I, X, n) di =1. 

 " = °o Ja.. 



1 Es kann natüi-Iich < a', b' :> auch mit ■< a, b :> identisch sein. 



- Eine PunUtmenge 81 hat im Punkte ;v- die Dichte p, wenn t'üi- den Inhalt ; (h) ihres ins Intervall < x — h, x -h h > fallenden 

 Teiles die Beziehung gilt: 



1 

 lim . / ih) = p. 



