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Darstellung gegebener Funktionen. 66 1 



Dann gilt für jede in <:a,bz>' integrierbare Funktion/ (4) die Beziehung: 



-b' 



lim r\f(x)-I,Jf,x)\dx = 0. 



Es sei zunächst folgendes bemerkt: nach Satz I angewendet auf den Spezialfall / =: 1, existiert 

 das in Bedingung 2 auftretende Integral: 





jtp (i X, n)\ dx 



für alle i von <: a, b ;>, abgesehen von einer Nullmenge. Ebenso lehrt Satz I die Existenz von /„ (f, x) 

 für alle x von -< a', b' >, abgesehen von einer Nullmenge. 



Aus Bedingung 3 folgt, daß für jede im Intervalle <: a, b >- der Verändarlichen i gelegene 

 Punktmenge 33.v, die im Punkte x von <: ß', b' -:>- die Dichte hat: 



(8) lim f \<i} {i, X, n)\ di — 



ist. In der Tat sei Si^' der Teil von '^Bx, auf dem -f {i, x, n) ^ 0, und ^'x' der Rest von ^x- Sind dann 

 %T und 2(!|' die Komplemente von i8i" und 93i"* bezüglich des Intervalles <.a, b >, so haben 

 31«' und 31^^' im Punkte x die Dichte 1. Es ist also nach Bedingung 3: 



lim / tf (€, X, n) di = 1 ; lim .' tp (^, x, n) d^=z \; lim 1 (f (^, x, n) di= 1, 



n = oo Ja n=oo J^Kl) n = oo J3[(2i 



woraus sofort: 



lim / 'S Cl, X, n) c/S =: 0; lim / a (j;, ,v, «) d^ = 0, 



it=ooj(8(i, " = ooJa(ä) 



und somit auch (8) folgt. 



Sei nun s > beliebig gegeben. Wir bezeichnen mit 3^. die Menge aller Punkte ^ von < a, ^^ >, 

 in denen: 



(9) \f{i)^f(x)\^B 



ist, mit 58;^ ihr Komplement bezüglich <:a, b>. Nach einem bekannten Satze' hat dann für 

 jedes X von < a', b' >-, abgesehen von einer Nullmenge, 31.,. im Punkte x die Dichte 1, und daher 

 ^x im Punkte x die Dichte 0. 

 Wir schreiben: 



(10) . /„ (f, x)-f(x) = f (fa)~f(x)) '5 (i .r, «) d^+f(x) j f 'f (i X, n) dt, - ll + 



J^x 



1 »Abgesehen von einer N'ullmenge ist, \venn/(|) integriei^ar ist, l/(J) — et Überali Ableitung seines unbestimmten Integrales 

 für alle Werte von C' (de la Vallee-Poussi n, Cours d'analyse II, 2-ed, p. 1 15). Es ist also, wieder abgesehen von einer N'ullmenge: 



lim 



im J_ I I 



Ist also i (h, e) der Inhalt der Menge aller jener Puni<te von <:x — h, x H- /; >, in denen |/(?)— /(.v')i > ^ ist, so haben wir: 



1 

 lim — i (h, s) = n. 

 Ä=o 2Ä 



Das aber ist die Behauptung des Textes. . . . 



