Darsfellufi^ gegebener Funktionen. 663 



ist, so haben wir: 



b rb' 



lim / 1 <p (s, X, n) di dx =: 0, 



" = °°Ja Ja' 



und somit, dacp ^ ist, auch für jedes Teilintervall <c a, ß :> von <: a, Z; >-: 

 (17) lim \ [\ f (i ;v, m) dx\di = 0. 



Setzen wir also: 



^ (5, ;;.) = 1 (p Ca, .V-, /«) ü(;i-, 

 Ja' 



so sehen wir aus (16) und (17), daß $ (?, ;/) folgenden zwei Bedingungen genügt: 



1. Es ist in <:ö, ^ :> abgesehen von einer Nullmenge; 



i 4> (<;, ;?) I < M für alle n. 



2. Es ist für jedes Teilintervall < a, ß >- von <: a, /?>-: 



lim r <& {i, H) dh — O. 



" = °0 Joe ' 



Nach einem Satze von Lebesgue ' ist aber dann für jede in < tz, i >- integrierbare Funktion i^(|): 



lim 1 F (6) <l> (5, //) t/S = 0. 

 Nach (14) imd ('15) haben wir also auch: 



('18) lim / ( /(f) -i a, .r, ;/) J| J.r = 0. 



li— CO 





iJie Formeln ( lüi, ( 1 1 1, ('12), (18) aber ergeben zusammen: es ist für alle hinlänglich großen ;/: 



i 



1 1, (f, x) -f (xY^dx <s (M ih' a') + 1 ), 



imd da s beliebig wai;, ist das die Behauptung (7) von Satz II. 



Man kann sich \'ielfach eine Untersuchung, ob Bedingung 3. von Satz II erfüllt ist, ersparen durch 

 die Bemerkung: 



II'. Ist bekannt, daß, abgesehen von einer Nullmenge, für jedes in <;t7, /' :^ integrier- 

 bare/in jedem Punkte A' von <ia', ö' >, in dem: 



(19) 



lim — r ' \f(x + t) -~f{x)\ dt — Q 



ist, die Beziehung: 



(20) lim I„(f,x)=f(x) 



gilt,-so ist Bedingung 3. von Satz II erfüllt. 



In der Tat, sei 9( eine den Punkt .v enthaltende Menge, die im Punkte x die Dichte 1 hat und sei 

 /(4) =^ 1 in den Punkten von %, sonst = 0, so ist (19) erfüllt, es gilt somit wegen (20): 



lim / 'f (I, X, H) di= 1, 

 "=°°J<n 



somit ist Bedingung 3. von Satz II erfüllt. 



Annales de Toulouse, Serie 3, Bd. 1, p. 52 (Satz I meiner 1. Mitteilung.) 



