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Von den zahlreichen Anwendungen \'on Satz II seien einige hervorgehoben. 

 Sei r,„ <: 1 und lim r„ ^ 1. Wir setzen: 



n = oo 



(21) '£ (*, .r, m) = 



1 l-r„2 



2t. l-2r„cos(6-.r) + 7'„2 



Da die Beziehung: 



1 C' l—r- 



lim f{t) -_ diz=f{x) 



r = i-o 2t. J_, 1 ~2r cos (g-,r) + 7-2 



für jede in -< — ti, - >- integrierbare Funktion in jedem Punkte .r von ( — :t, tt) gilt, in dem/ Ableitung 

 seines unbestimmten Integrales ist, ^ entnehmen wir aus II' sofort, daß für den Kern ('21) alle Bedingungen 

 von Satz II erfüllt sind für —t-^^^t.; — - ^ .v ^ tt. 

 Setzen wir noch, der Übersichtlichkeit halber: - 



P (r, x)= / V (?) -^—^ di. 



1 r%,.. l-r2 



1 -2r cos (|-;tr) + r2 



so haben wir also für die Annäherung des Poisson'schen Integrales an eine beliebigein 

 -< —jr, 51 >- integrierbare Funktion /(a'): 



lim I \f (.1 



••=1-0 J_- 



x)~P (r, x)\ dx= 0. 



Diese Eigenschaft des Poisson'schen Integrales wurde bewiesen \on W. Groß. ^ 

 Setzen wir: 



I sm n 

 1 



I sm n 



f (i, X, n) 



so wird: 



F.. (X) = 



litu . i — x\' 

 sm — -r— / 





bekanntlich das Fej ersehe arithmetische Mittel aus den « ersten Gliedern der Fourier'schen Reihe von 

 f{x). Da die Fejer'schen Mittel für jedes in <: —z, - 5> integrierbare/ überall in ( — ~, :r) konvergieren, 

 wo:^ 



lim- / \f(x+t)^f(x)\ dt = 0. 



sind die Bedingungen von Satz II erfüllt, und wir erhalten folgenden Satz über die Konvergenz der 

 Fejer'schen Mittel gegen/(.r): Es ist für jede in <; — :r, t: >- integrierbare Funktion/: 



lim f 



\f(x)~F„(x)\dx = 0. 



1 Zuerst bewiesen von P. Fatou; siehe meine I. Mitteilung, p. 69 [65y|. 



2 Es ist dies das sog. Poisson'sclie Integral. Bekanntligh ist, wenn mit i?,, b-, die Koefizienten der Fourier'sclien Keihe von 

 / (x) bezeichnet werden ; 



oo 



P (r, x) = -H > r'' (öv cos -j x -^ b; sin vxi (für = c < 1 1. 



v=l 



a Wien. Ber., Abt. Ua, Bd. 124, p. 1024. 



i H. Lebesgue .A.nn. de Toulouse, Serie a, Bd. 1, p. 88. 



