Darstellung gegebener Fnnkfioiien. 665 



Dasselbe gilt für die von de la Vallee Poussin angegebene Summierung der Fourier'schen Reihe; 

 setzen wir: 



.(i...)^-i.2--i!^fcos^r 

 ' ■ - (2m)/ l 2 j 



so wird, ' wenn mit a,, b,, die Koeffizienten der Fourier'schen Reihe von f (x) bezeichnet werden: 



V„ ix) = j ^ f (I) ^. (^, .-, n) di = - + 2. („+,)f„ + 2)...(«+v:) ('^■' "^"^ "^'+^' "'" ^■"'' 



und es ist für jedes in -< — ir, tt >> integrierbare/: 



/(.r) - lim V„(x) 



n=oo 



in jedem Punkte x von ( -rt, ir), in dem/(-r) Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. - Es ist daher 

 Satz II anwendbar, und ergibt für die de la Vallee Poussin'sche Summierung der Fourier'schen 

 Reihe, bei beliebigem in -<: —7t, ir :> integrierbarem f(x): 



lim pl 



|/(,^■)-F„(.r)|d.v = 0. 

 Setzen wir endlich, nach Landau und de la Vallee Poussin: 



^{^,x,n) = . I^Lil-i^-xn", 



\ IC 



so w'ird: 



i„W= f(i) ?(l,-v, «)rfa 



ein Polynom in .v. und es ist für jedes in <: 0, 1 >> integrierbare/: 



/ (x) — lim L„ (x) 



77 = OO 



in jedem Punkte x von (0, 1), in demf(x) Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. ^ Daher ist Satz II 

 anwendbar und ergibt für die Annäherung der Landau'schen Polynome an die beliebige in 

 <: —1, 1 ^ integrierbare Funktion/(.r): 



lim r\f(x 



■)-L„(x)\ dx = 0. 



§2. 



Wir wollen nun die bisher bewiesenen Sätze auf unendliche Intervalle übertragen: 



la. Sei cp (5, .r) eine in der ganzen | a:-Ebene meßbare Funktion. Als Funktion von .r sei 

 sie lür alle ;, abgesehen von einer Nullmenge, integrier bar in ( — oo, +oo), und es gebe ein M, 

 so daß, wieder abgesehen von einer Nullmenge: 



(1) 



/ "^^ |cp (i .v)| dx < M für alle i 



J- oo 



' eil. J. de la Vallee-Poussin, Bull. Bi-uxelles, Classe des sciences, 1908, p. 232. 



2 Zuerst be^\iesen von H. Lebesgue, vgl. meine 1. Mitteilung, p. 47 [631]. 



3 Zuerst bewiesen von Fr. Riesz; vgl. meine 1. Mitteilung, p. 47 [631]. 



Denkschriften der mathem.-nalurw. Klasse, 93, Band. gg 



