666 H. Hahn, 



Ist dann_/"(^) integrierbar in (—00, +00), so existiert das Integral: 



(2) JCf,--^)=r'7(^)?(^,-'^)^i 



J— 00 



für alle x, abgesehen von einer Nullmenge, und ist eine in ( — 00, +00) integrierbare Funktion. 

 Es genügt wieder, den Beweis unter der Annahme: 



(3) cp(^,.r)^0, f{i)^0 



zu führen. Wir zeigen zunächst, daß für jedes endliche Intervall <:a,h:>- das Integral: 



Ja 



für alle x, abgesehen von einer Nullmenge, existiert und eine in ( — 00, +00) integrierbare Funktion von x 

 darstellt. Wird ^., {^, x) eingeführt, wie beim Beweise von Satz I, so wird es genügen, die Existenz des 

 Doppelintegrales: 



(4) ' <i>., (^, X) dUx 



nachzuweisen, da im übrigen der Beweis derselbe bleibt, wie für Satz I. 

 Für jedes endliche ^ >» existiert sicherlich das Doppelintegral: 



*v (a, -r) di dx. 

 Wegen (3) ist 4>v {i, x) ^ 0, so daß das Integral: 



X 



A 



$v (^, .1^) dx 



A 



mit A monoton wächst. Es ist somit; 



lim r* (I>v (ä, x) dx\di = lim f [' f' *., d, x) dx\ dl 



A = +coJ_ji I A = + QOj^ \^__4 



WO das links stehende Integral sicher existiert, da wegen (1): 



f'V {i, x) dx^fÜ) r°°cp (I, x) dx ^ Mf{i) 



J— A J— 00 



ist. Da nun aber: 



lim / ^,{h,x) dx\di- \xm \ \ ^., {i, x) di dx- \ \ <P, (i x) di dx 



^ = + 00 Ja \J-A j ■^=+°°Ja J-A Ja J - oo 



ist, SO ist die Existenz des Doppelintegrales (4) bewiesen. 



Um nun Satz I a selbst zu beweisen, wird es wieder genügen, die Existenz des Doppelintegrales: 



(5) ^.,{i,x)dkdx 



X+00 p+s. 

 00 J— oc 



nachzuweisen. Nach dem eben Bewiesenen existiert für jedes endliche ^ :> das Integral: 



$, {i, X) di dx = *v (i X) dx\di ^ /(€) / rf («, X) dx\ di, 



ao J—A \J— 00 / J— 00 \ J— 00 / 



