Darstellung gegebener Funktionen. 667 



und wegen (1) hat die rechte Seite dieser Ungleichung einen endlichen Wert. Daraus folgt die Existenz 

 eines endlichen Grenzwertes: 



I ^v (6, x) di dx, 



Aj-oo 



da das unter dem Linuszeichen stehende Integral mit A monoton wächst. Dieser Grenzwert ist aber 



nichts anderes als das Doppelintegral (5), dessen Existenz hiemit bewiesen ist. 

 Wie Satz I, kann auch Satz la ergänzt werden durch die Bemerkung: 

 V a. Unter den V^oraussetzungen von Satz \a existiert das Doppel integral: 



X+oo r'+a 

 oo J— oc 



f {k) '^ ii, X) di dx 

 J— oo J— oo 



und der Wert von 



••+00 



J {f, x) dx 



l 



oo 



ist gleich diesem Doppelintegrale. 



Auch die zu I" analoge Bemerkung bleibt richtig. 



Wir lassen wieder 'f (I, -f) abhängen von einer natürlichen Zahl n und setzen: 



X+oo 

 fi^'f(^,x,n)di 

 oo 



Dann können wir den zu II analogen Satz beweisen: 



II a. Sei '{! (^,.r, 7t) für jede natürliche Zahl « meßbar in der ganzen ^ .r-Ebene. Abgesehen 

 von einer Nullmenge sei 'f (?, X-, 7/) für jedes .rnach^ integrierbar in ( — oo, +oo); ebenso sei, 

 abgesehen von einer Nullmenge, rp (|, ,r, ;/) für jedes | integrierbar nach x in(— co, +oo). 

 Ferner genüge 's> {i,x,n) folgenden Bedingungen : 



1. Es gibt ein M, so daß für alle x (abgesehen von einer Nu 11 menge) und alle n: 



f 



J- c 



j'f (6, X, ii)\ dh<.M. 



2. Es gibt ein M, so daß für alle i (abgesehen von einer Nullmenge) und alle n: 



I (f (I, X, n) i dx <. M. 



f 



S.Fürjede geschränkte Punktmenge 31^,. der Veränderlichen ^, die im Punkte |^ .r die 

 Dichte 1 hat, gilt: 



lim 1 9 (§, X, n) <i| = 1. 

 " = oo Jn^ 



4. Für jedes h > undjedes i, ist: 



XI — h r'+oo 



I (f {i, X, n) \dx = 0; lim I | 'f (I, x, n) \ dx = 0. 

 oo '' = ooj= + /, 



Dann gilt für jede in ( — oo, +oo) integrierbare Funktion/(.r) die Beziehung: 

 (6) lim r^ °° 1/ (.V) - J„ if, X) I dx = 0, 



,i=ooJ_oo 



Um das zu beweisen, können wir ganz ähnlich vorgehen, wie beim Beweise von Satz II. Sei^''(.r) 

 eine durchwegs positive, in (— oo, +oo) integrierbare Funktion, und sei s >> beliebig gegeben. 



