Darstellung gegebener Funktionen. 



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Nun ist; 



r <J>i (I, «) di= C |T ip (I, a;, 7^) di] dx. 



Aus Bedingung 3. folgt unmittelbar für jedes x: 



lim 1 (f (^, X, 



■,n)di = Q- 



aus Bedingung 1. folgt: 



Es ist daher: 



I TL 



; n) di 



M für alle w. 



(13) lim I 4)j (^, w) rf^ = 0. 



Ferner ist nach Bedingung 4. für alle | von <: a, ß>-: 



X — .4 .■-•+0O 



(f (i;, ;tr, ??) dx = 0; lim I tp (i, a-, !f) ß?A- = 0, 

 oo « = oo J^ 



und wegen Bedingung 2. für alle i von <: a, ß :> und alle « : 



x: 



(p (^, ,r, w) Jar <:M; 



r 



(p (5, ;t, n) dx 



■M, 



und somit 

 (14) 



lim I 4>., 



« = °° Ja 



(1, «) ^^ = 0. 



Die Beziehungen (13| und (14) zeigen nun, daß (12) erfüllt ist, das heißt, daß $ (^, «) auch der 

 Bedingung ß) genügt. 



Da nun ^ (6,«) den Bedingungen a) und ß) genügt, so ist ^ für jedes in (- oo. +co) integrierbare F: 



lim r 



F(?)*(i w)rf6 = 0. 



Es ist also msbesondere auch: 



1/(4)1 f {%,x, n) dx\d^-0, 



oo \ J- oo / 



und mithin nach (11): 

 (15) 



Um I i I 

 "=«>J^oo IJsb 



/(4) tp (6, a;, «) di, 



dx — 0. 



(16; 



Die Beziehungen (8), (9), (10) und (15) ergeben aber (6). so daß IIa bewiesen ist. 



Es sei zunächst folgende Anwendung von Satz II<:7 erwähnt: wir setzen nach Weierstraß: 



li 



■s (i, X, k) — -— = e-*=(4-A.-r-. 



Vit 

 Dann wird für jedes k^^O. wennf(i) in ( — oo, +00) integrierbar ist, der Ausdruck: 



w (X, k) = r°°f (5) tp a, X, k) d 5 



1 



1 Nach Satz 1 a meiner 1 . .Mitteilung. 



