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eine ganze transzendente Funktion ^ in x, und es gilt an jeder Stelle .r, wo /Ableitung seines unbestimmten 

 Integrales ist:^ 



fix)=z lim W{x,k). 



Daraus entnimmt man, daß Bedingung 3 von Satz IIa erfüllt ist, und da die anderen Bedingungen 

 dieses Satzes offenkundig erfüllt sind, haben wir: das VVeierstrass'sche Integral (16) liefert zu 

 jeder in ( — oo, +oo) integrierbaren Funktion/(:v') eine ganze Funktion W (x, k), für die die 

 Beziehung gilt: 



(17) lim / [f (x) - W (x, k) \dx= 0. 



* = + <» J-oo 



Man könnte glauben, daß Bedingung 4 für die Giftigkeit von Satz II a überflüssig ist. Es sei also 



noch an einem Beispiele gezeigt, daß eine Bedingung dieser Art jedenfalls erforderliph ist. 



n 1 1 

 Sei 'f„ (m) = — in <: , — :> , tp„ («t) = 1 in <: n, n+ 1 >-, sonst rp,, (u) = 0. Wir setzen: 



? 



n n 



JJf,x)= f{i)'^„{i-x)dl 



J— oo 



und haben offenbar, wenn/(.rj integrierbar ist in ( — oo, +oo), in jedem Punkte .r, in dem /Ableitung 

 seines unbestimmten Integrales ist: 



f{x)=z lim J„(/,r), 



/j — oo 



woraus man entnimmt, daß Bedingung 3 von Satz IIa erfüllt ist. Daß Bedingung 1 und 2 erfüllt sind, ist 



offenkundig, ebenso daß Bedingung 4 nicht erfüllt ist. 



Wir haben: 



M nx+— nx+n+l 



Jn (■/, ^) -/ W = V / 1 "-^ ^^ ^^ ^-^ ^^-^ "^ -^ ^^^ ^^- 



-' Jx Jx+n 



Aus Satz IIa folgt ohneweiteres, daß: 



X+oo I j,, fX+ — 

 \f{x) / "f{i)di dx = 

 oo i 2 Jx-l 

 I '^ 



ist. Hingegen haben wir: 



X+ oo / fx-vn+l \ p+ oo / fx+l \ 



/ f(^)di\dx^ / / f{i)dh\dx. 



oo \Jx+n j J— oo \Jx 1 



Diese Größe ist von u unabhängig, und im allgemeinen gewiß =jrO, so daß (6) nicht bestehen kann. 



Zum Schlüsse seien noch von .Satz IIa zwei Anwendungen auf die Theorie der Fourier'schen 

 Integrale gemacht. 



Wie ich in meiner 1. IVIitteilung gezeigt habe,-' gilt für jede in (— oo, +oo) integrierbare Funktion 

 f{x) die Beziehung: 



1 r+°° ' 1 



/(;.)= lim — f{i) . 



■di 



P 1 



1 Siehe zum Beispiel E. Borel, Le^ons sur les fonctions de variables reelles, p. 53. 

 - Siehe meine 1. Mitteilung, p. 50 [.334]. 

 3) p. 67 [651], 71 [655]. 



