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in jedem Punkte .r, in dem f(x) Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. Daraus folgt, daß, wenn p„ 

 irgend eine Folge positiver Zahlen mit lim p„ := bezeichnet, der Kern 



n — CO 



1 1 



'? ii X, n) - 



\ Pn 



der offenbar den Bedingungen 1, 2 und 4 von Satz IIa genügt, auch der Bedingung 3 dieses Satzes 

 genügt. Setzen \v\t also; 



1 r+°° 1 



^•pj-oo j^ (i-x-' 



\ 9 j 

 so lehrt .Satz IIa das Bestehen der Beziehimg: 



(18) lim I /(.rj— n Cr, p)j rf;v=Ü 



für jede in ( — oo, +co) integrierbare Funktion /(".ri. Nun hat man aber, ' wenn gesetzt wird: 



1 /"•+ oo 1 ''+ oo 



(19) A 0.) = — 1 / (i) cos U di; B(K} = --- f (i) sin U c/i 



^ J-oo 't J-oo 



die Beziehung: 



,'•+ oo 



n (x, p) = I e-p'- (A (X) cos kx+B (X) sin Ä,v) dk, 



J— oo 



und es kann die Formel: 



_/" (x) = lim 11 U', p) 



,0 = + 



als eine Summationsformel für das Fourier'sche Integral betrachtet werden, die, da sie der Poisson'schen 

 Summierung der Fourier'schen Reihe analog ist, auch hier als die Poisson'sche Summierung bezeichnet 

 werden möge. 



V\'ir haben also, in Analogie mit einem in J; 1 für die Poisson'sche Summierung der Fourier'schen 

 Reihe bewiesenen Satze: Für die Poisson'schen Summierungsausdrücke 11 (.i, p) des Fourier'schen 

 Integrales einer beliebigen fn ( — oo, -f-oo i integrierbaren Funktion/(.v) gut die Beziehung! 18i 



Um ein zweites Resultat ähnlicher Natiu- zu erhalten, knüpfen wir an die bekannte Formel - an: 



i 



+ 00 / 



>— r- 



• cos Z 7. [ 



■ Setzen wir hierin; 



a.z^k (5 --.r); 2k v =z X, 



so erhalten wir 



— I e V2*'' (cos /4 cos /.,v+sin ht, sin kx) dk = — r^-*- ^'-•'■'- • 



Führt man dies ins Weierstrass'sche Integral (16) ein, so erhält man, wenn man wieder von der 

 Bezeichnungsweise (19) Gebrauch macht; für jede in (--oo, +oo) integrierbare Funktion/(;v) gilt 

 in jedem Punkte, in dem sie Ableitung ihres unbestimmten Integrales ist, die Formel; 



,'■+ oo 



f(x)-= lim / i'- ?'■■ (.4 fX) cos X.v-)-/? (X) sin X.v) t/X. 



f-' = +"J-oo 



1 Vgl. 1. Mitteilung, p. 71 [655]. 



- Siehe zum Beispiel Ch. J. de la Vallee-Poussin, Cours d'unalyse 11 ;i. cd . p. 82, 



