672 ■ H. Hahn, 



Auch diese Formel kann als eine Summationsformel für das Fourier'sche Integral betrachtet werden 

 Da sie auch durch einen Grenzübergang aus der de la Vallee-Poussin'schen Summierung der Fourier'schen 

 Reihe gewonnen werden kann, so möge sie als die de la Vallee-Poussin'sche Summierung des 

 Fourier'schen Integrales bezeichnet werden. 



Setzen wir noch: 



r'+ oo 

 V (x, p) = / e^p^' (A (X) cos X x+B (X) sin Xx) dX, 



X 



oo 



so lehrt die für das Weierstrass'sche Integral bewiesene Beziehung (17): für die de la Vallee- 

 Poussin'schen Summierungsausdrücke V{x, pj des Fourier'schen Integrales einer beliebigen 

 in ( — oo, +00) integrierbaren Funktion /ü-) gilt die Beziehung: 



lim P °° i (/ {x} - V (x, p) I dx = 0. 



S3. 



Wir müssen nun zwei Hilfsätze beweisen, die wir im Folgenden benötigen werden. ^ 



III. Ist 'i.„ (I) (11 =1,2,....) eine Folge in <: a, b^^ integrierbarer Funktionen, für die: 



lim / i(p„ (l)jö'l = + 00 



"=°°Ja 



(1) 



ist, so gibt es eine in <c 0, ^ :> stetige Funktion g (i), f ü r die: 



(2) lim 1 g (t) 'f„ (5) Jl = + 00. 



Sei ??„ (I) definiert durch: 



h„ {k) = 1, wo 'D„ (i) ^ 



Dann ist, wegen fl), auch: 



r'' 



lim //„ (i) (fi„ ii) de.=z + 00. 



Es hat keinerlei Schwierigkeit,- aus den, im allgemeinen unstetigen, /;„ (i) stetige Funktionen^,, (?) 

 herzuleiten, die der Ungleichung genügen: 



(3) ignm^\, 



und für die gleichfalls: 



(4) lim g„ (?) (f,, (?) di — + 00 



«=00 Jii 



ist. — Wäre nun für eine dieser stetigen Funktionen ,4;,: (?j die Folge der Integrale: 

 (f)) fV,- (?) cp„ (?) rf? (M. = 1, 2...) 



1 Der Beweis dieser Hilfssätze beruht auf einem von A. Haar und H. Lebesgu e zu ähnlichem Zwecke verwendeten Gedanlcen. 

 Vgl. § 2 meiner 1. Mitteilung. 



'- Vgl. meine 1. Mitteilung, p. 9 [593]. 



