674 H. Hahn, 



und daher weiter, unter Berücksichtigung von (7): 



(13) 



1 



oo 



^ni sSni) 



1. 



Aus (10) zusammen mit (11), (12), (13) aber ergibt sich: 

 (14) I,,.{g)>i-\. 



Damit ist unsere Behauptung (2) erwiesen. In ganz derselben Weise zeigt man: 



HIß. »Ist cp„ {i) (m = 1, 2,. . .) eine Folge in ( — cx), +oo) integrierbarer Funktionen, für die: 



lim 



fi= oo 



J-oc 



|cp„(|)| J|= + oo 



ist, so gibt es eine in ( — oo, +oo) geschränkte, für jedes i stetige Funktion g{i), für die: 



lim" I "? (^) ?„ (^) ^1 = + oo«. 



lim r 



"=oo J_c 



Wir kommen zum Beweise des zweiten Hilfsatzes: 



IV. Ist tp„(?) (?« ^ 1, 2,. . .) eine Folge in<:a, Z?^- integrierbarer Funktionen, und gib t es 

 in<Ci7, Z'>- eine Folge von Teilintervallen <: «j, ß,>» und eine Folge von Indizes /;,- mit 

 lim Ui =: oo, so daß: 



j= CO 



(15) 



lim 



;■= oo 





(5) di= + OO, 



so gibt es eine in -<. a, &> absolut stetige Funktion g {^), für die: 



lim I ^ (g) 'f „ (S) t^? = + oo. 



Wir beschränken nicht die Allgemeinheit, wenn wir die Voraussetzung (15) ersetzen durch: 



(15a) lim I (p„ (S) J4 = + oo, 



da das darauf hinausläuft, statt der vorgelegten Folge der (p„ (|) eine Teilfolge zu betrachten. 

 Sei hfl (4) definiert durch : 



K (^) = 1 in < «n. ß« > 



Ä„ (i) = außerhalb <. a„, ß„ :>. 



Dann ist wegen (15 a) auch: 



lim 



H = oo 



> r K (^) ?« (^) ^a = + CO. 



Wir wählen nun ein a„ > so klein, daß: 



ß»-a» 



und so klein, daß: 



/ |T„(?)|^?+/ |9„(l)| 



di'< 1. 



Sodann definieren wir .ö",, (?) durch die Festsetzung: in <: a„ + a,„ ß,, — a„ >- und außerhalb 

 a», ß«;> stimmt gn (?) mit //„ (gj überein, in <; a,„ a„ + o,, >=■ aber, sowie in <ß„ — a,;, ß„>- mit 



