DarsteUnng gegebener FunkNovcn. 



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derjenigen linearen Funktion, die in den Endpunkten des betreftenden Intervalles ^ /«„ (|) ist. Dann ist 

 offenbar: 



Ja Ja 



1, 



und wir liaben in den g^ (4) eine Folge absolut stetiger Funktionen vor uns mit folgenden Eigenschaften: 



Es ist 



0^gji)^\; 



die Totalvaiiation von gn (i) in <: a, b '>- hat den Wert 2, und es ist: 

 (16) lim r^„ (6) <p„ (S) ^S = + oo. 



" = °o Ja 



Wäre nun für eine dieser Funktionen ^'V ('s) die Folge der Integrale: 



Ja 



gi(i)<oAi)di in= 1,2,...) 



nicht geschränkt, so wäre damit unsere Behauptung erwiesen, indem wir g(i)-=:gi(i) oder =r -,^,- (^) 

 setzen. Wir werden also annehmen, es gelte tür jedes / eine Ungleichung der Form (6). 



Die beim Beweise von Satz III eingeführten Abkürzungen L„ und /„ (w) behalten wir bei. Wie dort 

 bestimmen wir die Teilfolge der Indizes: Mj, ;;.,,. . ., ;/,-,. . . Daß (7) erfüllt werden kann, folgt nun aus 

 \''oraussetzung (15), daß (9) erfüllt werden kann, aus üß). 



Wie dort definieren wir die Funktion g (^) und wollen uns überzeugen, daß sie absolut stetig ist 

 in < a, b >-. Das heißt wir haben zu zeigen: ist s :> beliebig gegeben, so gehört dazu ein -q >> 0, so daß 

 für jede Menge sich nicht überdeckender Teilintervalle Oj, 8.,,. . ., Sj., . . . von <: a, b :>, deren Gesamtinhalt: 



ist, die Ungleichung besteht: ^ 

 (18) 



'^1 + '^.'+ • • +^^'- + • 



^ V(S, S*) 



< s. 



* = i 



Da jedes g,, (s) in <: a, b >- die Totalvariation '1 hat, kann zunächst /„ so groß gewählt werden, daß: 



^®= Ii4r-*"® 



in <: ß, ^7 >. eine Totalvariation <: — hat. Dann ist erst recht, für jede iVlenge sich nicht überdeckender 



9 



Teilintervalle S^ von <: a, Z» 

 (19) 



y vig*,h)<^ 



*=i 



Da jede der endlich vielen Funktionen gn, (I), gn. {i),- ■ ■, ,?«,• (4) absolut stetig ist, kann •/) > so klein 

 gewählt werden, daß aus (17) folgt: 



(20) 



2^^fe..-.5.)<^ (.•=i,2...,g. 



* =1 



Aus (19) und (20) aber folgt (18), womit die absolute Stetigkeit von g{i) nachgewiesen ist. 



1 Es bedeutet V (g, S^,) die Totalvariation von g im Intervalle S^. 



