676 H. Hahn, 



Endlich beweist man wie oben das Bestellen von Ungleichung (14), womit der Beweis von Satz IV 

 beendet ist. 



Ganz ebenso beweist man: 



IV fl. »Ist tc„ (6) (m^I, 2, . . .) eine Folge in (— oo, +oo) integrierbarer Funktionen, und gibt es eine 

 Folge von Intervallen <: a,-, ß,- :> und von Indizes m,- mit lim «,• = oo, so daß (15) gilt, so gibt es eine in 



/ = oo 



( — oo, +oo) geschränkte, in jedem endlichen Intervalle absolut stetige Funktion g{i), für die; 



X+oo 

 CO 



§4- 



Sei Wj (.r), coj (;tr), . . . , (ö, (.r), ... ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles <: a, & >, das 

 heißt es sei: 



/ w^ (.r) • Wv (;*•) dx =:0 ([jl ::^ v) 



(cüv (.r))2 ^.r = 1. 



Das Orthogonalsystem heißt vollständig, wenn es keine Funktion w (.r) gibt, deren Quadrat in 

 <: a, b :> integrierbar ist, und für die: 



r 'w (,r). Wv (.r) dx=:0 (v = 1, 2 . . .); f (w (x)y dx z}z . 



Ja Ja 



wäre. 



Für jede Funktion /(,r), deren Quadrat in < a, Z; > integrierbar ist, existieren die »Fourier'schen 

 Konstanten« in bezug auf unser Orthogonalsystem: ^ 



(1) /v= r/(^)a).(4)^| (v=: 1,2. .), 



Ja 



und bekanntlich ist das Orthogonalsystem ein vollständiges dann und nur dann, wenn für jede Funktion 

 f{x), deren Quadrat in < a, ^ ;> integrierbar ist, die Gleichung besteht; 



oo 



Y^fi-^{ifwdi 



V = 1 



Eine unmittelbare Folge daraus ist, daß für jedes Paar in <^ a,b ^^^ quadratisch integrierbarer 

 Funktionen /(,r) und^(,r), deren Fourier'sche Konstanten in bezug auf unser Orthogonalsystem /, und ^v 

 seien, die Gleichung besteht: 



(2) Y^f.'g.^j f{i)'g{i)di. 



V = 1 



Wir wollen diese Formel als die Parseval'sche Formel bezeichnen,- weil sie die Verallgemeinerung 

 des bekannten Parseval'schen Theoremes aus der Theorie der Fourier'schen Reihe ^ auf beliebige 

 normierte vollständige Orthogonalsysteme darstellt. 



1 In der Tat ist in der Definition des normierten Orthogonalsystemes die Tatsache enthalten, daß jede seiner Funktion ^^{x) in 

 ; fl, i> > von integrierbarem Quadrate ist. 



- D. Hubert bezeichnet sie als »Vollständigkeitsrelation.« 



3 Siehe zum Beispiel Ch. J. de la Vallee Poussin, Cours d'analyse, tome II (2 ed), p. 165. 



