Daraielhmg gegeheuer Fiiiikfidueii. 677 



Es existieren die Fourier'sciien Konstanten (Ij nicht nur für jede in ■<: a, b ^^ samt ihrem Quadrate 

 integrierbare Funktion, sondern für jede in < a, b ^> integrierbare FunI<tion dann und nur dann, wenn 

 jede einzelne Funktion oj, (,t) unseres Orthogonalsystemes in <: a,b >- geschränkt ist, abgesehen höchstens 

 von einer Nullmenge. 



In der Tat, ist ein (o., {x) nicht geschränkt, und kann es auch nicht durch Abänderung seiner Werte 

 in einer Nullmenge in eine geschränkte Funktion verwandelt werden, so gibt es sicher eine in -< a, ?i >- 

 integrierbare Funktion /(.\'), für die das Integral; 



i 



•t 

 f(x) oy, (x) dx 



nicht existiert. ^ 



Wir nehmen also an, es sei jedes einzelne co., (.vi in <: ü, ö :> geschränkt (abgesehen höchstens von 

 einer Nullmenge). Ist dann/(;i;) in <; a, ^ >» integrierbar und g{x) in -< a, /'>> geschränkt, so existiert das 

 Integral : 



L 



und wir können die Frage aufweifen, ob nun die Parseval'sche Formel (2) für jedes Funktionenpaar /(.v), 

 ^(.r) gilt, von denen in <: a, ö >- die eine integrierbar, die andere geschränkt ist. 



Sei zunächst g (x) eine gegebene in <: a, Z? :> geschränkte Funktion. Dann gilt der .Satz. 



V. Damit bei gegebenem, in -<:ci,b^=' geschränkten ,§ (a-) die Parseval'sche Formel (2) 

 für jedes in <«, b >■ integrier bare/ gelte, ist notwendig und hinreichend, daß es ein Mgibt, 

 so daß für alle x von < a, b >-, abgesehen von einer Nullmenge, und alle ;;.: 



(3) y g, i,i, (x) 



I 



M. 



In der Tat, die Frage nach der Giltigkeit von (2) ist gleichbedeutend mit der Frage nach der 

 Giltigkeit von : 



(4) 



Wir setzen : 



\\m^ C/mgii) - v^°'" "'■' (^) '^^ = 0- 



g{i)- £^v<o, (6) = <?„(?). 



V = 1 



Nach einem Satze von Lebesgue - gilt nun (4) für jedes in < a, b >- integrierbare/ dann und nur 

 dann, wenn '.p„ (5) folgenden Bedingungen genügt: 



1. Es gibt ein M, so daß, abgesehen von einer Nullmenge, für alle x von <: a, b'> und alle 11: 



2. Für jedes Teilintervall <: a, ß > von <c a, b >' ist: 



lim I 'f„ 

 " = 00 Ja 



(I) di = 0. 



Hievon ist, da nach Voraussetzung ^(|), abgesehen von einer Nullmenge, geschränkt ist, Bedin- 

 gung 1. gleichbedeutend mit (3), und Bedingung 2. ist sicher erfüllt. In der Tat setzen wir: /(?)=! in 



1 H. Lebesgue, Ann. de Toul. Serie 3, Bd. 1, p. 38. 

 - Satz I meiner 1. Mitteilung. 



