678 



H. Hahn. 



: a, ß :> und := außerhalb <: a, ß >-, so können wir, da, die Funktionen /(^) und^(|) nun beide in 

 a, b ':> samt ihrem Quadrate integrierbar sind, Formel (2) anwenden und erhalten: 



C'g{^)d^= Y^g, rv^rfi 



Damit ist Satz V bewiesen. Wir sind nun auch in der Lage, die aufgeworfene Frage zu beantworten: 



M. Damit die Parseval'sche P'ormel (2) für jedes F'unktionenpaar /(;i;), ^§ (,t) gelte, von 

 denen in <: a, &>- die eine geschränkt, die andere integrierbar ist, ist notwendig und hin- 

 reichend, daß es ein 71/gibt, so daß für alle .r von <: (T, ?' >- (abgesehen von einer Nullmenge) 

 und alle n: 



(5) 



y CO, (£) c.j, (x) cU 



M. 



Die Bedingung ist hinreichend: in der Tat, sei g{x) in <: a, b 



\g (x) i <: G in <: a, A :>. 

 Dann ist (abgesehen von einer Nullmenge): 



■'b 



geschränkt: 



L 



<§v Wv W 



f y g (s) Wv (4) («v (x) di,\^G r } y CO, (4) cu, (.r) j di <G'M. 



Ja - — '' Ja I ^-— ', 



Es ist also für jedes einzelne geschränkte ^'(.r) Bedingung (3,i von Satz V erfüllt. 



Die Bedingung ist notwendig: angenommen, sie sei nicht erfüllt; es gäbe dann zu jeder natürlichen 

 Zahl i eine in <: a, b >- gelegene Menge .1// mit von Null \'erschiedenem Inhalte, so daß zu jedem Punkte .r 

 von Mj ein Index ii^- gehört, für den: 



^6) 



f l- 



, (i) 1% (x) 



di. 



Abgesehen von einer Nullmenge ist überall in <: a, h >- <o, (x) Ableitung seines unbestimmten 

 Integrales. Es sind daher auch weiter überall in <: (/, b >-, abgesehen von einer NuUmenge, sämtliche 

 (0, {x) Ableitung ihrer unbestimmten Integrale, imd es gibt daher auch in jeder Menge Mi einen Punkt .r,-, 

 in dem jedes lo, (x) Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. 



Wir entnehmen also aus (6): es gibt eine Punktfolge ,r, in <:a, ^'>-, sowie eine Indizesfolge -n,-, so daß: 



lim / ' 

 '■ = +«> Ja 



y (0, (^) (0, (xi) 



V = 1 



di,=. + o<3, 



und so, daß in jedem Punkte ,r,- jedes (o, (x) Ableitung seines unbestimmten Integrals ist. 

 Indem wir nun in Satz III setzen: 



rp,- (?) = y (0, (I) <o, (Xi), 



sehen wir: es gibt eine in -<a, ^>> geschränkte (und überdies stetige) Funktion g (x), für die: 



lim / y ^- (?) öj, (?) oj, (.r,-) di 

 i=°°Ja -^ 



v = l 



+ OO 



