Darstellung gegebener fiiitktionen. 



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ist. Da aber: 



ist, haben wir weiter: 



(7) 



£ 



g (?) (0, (I) di = g. 



lim 2_,^v w, (Xt) — + 



oo. 



Zufolge der Wahl der Punkte Xj ist nun in jedem Punkte x,- die Funktion: 



(8) 



y Ä wv (x) 



Ableitung ihres unbestimmten Integrales, so daß (7) besagt: die rechtsseitige obere Ableitung des 

 unbestimmten Integrales von (8) ist nicht nach oben geschränkt für alle ii und alle x von <: a, b :>. 

 Nun unterscheidet sich der Ausdruck (8) von dieser rechtsseitigen oberen Ableitung nur in einer 

 Nullmenge; und da eine geschränkte rechtsseitige obere Ableitung ihre obere Grenze in einem Intervalle 

 nicht ändert, wenn Nullmengen vernachlässigt werden,* so sehen wir, daß der Ausdruck (8) auch 

 nicht durch bloße Wertänderung in einer Nullmenge in einen für alle x von <:a,b:> und alle ;/ 

 geschränkten Ausdruck verwandelt werden kann; es genügt also die Funktion g (x) der Bedingung (3) 

 von Satz V nicht. Damit ist Bedingung (5) von Satz VI als notwendig erwiesen. 



Als Beispiel eines die Bedingung von Satz VI erfüllenden Orthogonalsystemes diene das bekannte 

 Haar'sche Orthogonalsystem. - Ein Beispiel eines die Bedingung von Satz VI nicht erfüllenden 

 Orthogonalsystemes liefert das trigonometrische Orthogonalsystem; denn es ist bekanntlich: 



(9) 



„ sm ii—x) 



1 ,1 V?, . . . . . , 1 2 



+ — y (cos Vs cos VA.' + sm vfe sm yx) = 



2ll TT i^ 27t . ^ — x 



v = i sm 



und: 



1 C'^ 

 lim — l 



n=oo 2rt J_^ 



sin 



2n-hl 



2 



(4- 



-X) 





. i- 

 sm — 



2 



X 





di 



4- oo. 



Es gibt also in <: — t:, Ä>-eine integrierbare Funktion/ und eine stetige Funktion^, 

 für die die Parseval'sche Formel aus der Theorie der Fourier'schen Reihen nicht gilt. 



VII. Damit die Parseval'sche Formel (2) für jedes Funktionenpaar/(.r), «•(.r) gelte, von 

 denen in < a, ft :> die eine geschränkt und von geschränkter Variation, die andere inte- 

 grierbar ist, ist notwendig und hinreichend, daß es ein 3/gibt, so daß für alle Teilintervalle 

 <: a, ß > von <: a, & >-, alle x von <: a, b >, abgesehen von einer Nullmenge, und alle n: 



(10) 



r V 10,, (4) (Uv (x) di 



M. 



Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist 



\g{x)\<.G \r\<.a,b>, 



1 .Siehe zum Heispiel 11. I.ebesgue Le9i-ins siir riiitcgratitin. p. 80. 

 - Alath. Ann. 69, p. 361 Ü. 



