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H. Hahn, 



und ist V die Totalvariation von g in 

 (abgesehen von einer Nullmenge): 



a, b:>, so liefert der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung ^ 



11 n 



Vg, (0, (x) = f g(i) y (0, (i) (0, (X) di\ ^ (G+ V).M. 



Es ist also für jedes einzelne g (x) geschränkter Variation Bedingung (3) von Satz V erfüllt. 



Die Bedingung ist notwendig. Angenommen, sie sei nicht erfüllt. Dann gibt es zu jeder natürlichen 



Zahl / eine Teilmenge M; von <:: a,b . 

 Teilintervall <: a^, ß» :> von <: a,b :::: 



=> mit von verschiedenem Inhalte, zu deren jedem Punkte x ein 

 und ein Index n^ gehört, so daß: 





'1 = 1 



cov (I) lü., (x) di 



Wie beim Beweise von Satz VI sehen wir: es gibt in <z a, b . 

 a,:, ß,: >- und eine Punktfolge x,-, sowie eine Indizesfolge n,; so daß: 



eine Folge von Teilintervallen 



lim 



)' = oo 





Wv(6)Wv {Xi)d^ 



= + oo, 



und so, daß in jedem Punkte ,r,- jedes <a., (x) Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. 



Somit gibt es also nach Satz IV (oder IV a) eine Funktion g (x), die in <: a, b :>- geschränkt und von 

 geschränkter Variation (ja sogar absolut stetig) ist und für die: 



ni 1H 



g{i) y to,, (i;) i,).,{xi)di = lim y 



§-., Oh (x'i) =: + CO, 



= 1 V = t 



woraus man, wie beim Beweise von Satz VI weiter schließt, daß g (,v) der Bedingung (3) von Satz V 

 nicht genügt. Damit ist gezeigt, daß Bedingung (10) von Satz VII notwendig ist. 



Satz VII lehrt für das trigonometrische Orthogonalsystem, daß die Parseval'sche Formel in der 

 Theorie der Fourier'schen Reihen gilt für jedes Paar von Funktionen/und g, von denen in 

 <: — TT, :r:> die eine integrierbar, die andere von geschränkter Variation ist;- es folgt dies nach 

 Satz VII unmittelbar daraus, daß für den Kern (9) bekanntlich eine Ungleichung gilt: 



2n+l 



1 rß 



sm 



■(^-.1^) 



sm- 



i-x 



di 



M 



für alle n, alle x von <: — x, tt >- und alle Teilintervalle <: a, ß >> von <: — -rc, tt :::>. 



Wählt man für g (,r) speziell die Funktion, die = 1 ist in einem Teilintervalle <; a, ß >» von 

 <; — jc, 7r>, sonst = 0, so liefert die Parseval'sche Formel das bekannte Theorem'^ von der Integration 

 der Fourier'schen Reihe einer beliebigen in <: — 7t, tt >» integrierbaren Funktion/ 



Satz V liefert übrigens unmittelbar, indem man unter ^ (.t) die Funktion versteht, die = 1 ist in 

 <: a, ß >-, sonst = : 



Damit für jede in -< a, b:>- integrierbare Funktion/ und jedes Teilintervall <: a, ß >- 

 von<:ö, b :> die Formel gelte: 



(11) 



I f{x)dx^= / f^> \ '^i W ^^> 



1 Siehe zum Beispiel H. Lebesgue Ann. de Toul. Serie 3, Bd. 1, p. 37. 



" Zuerst bemerkt von W. H. Young. Proc. Royal Soc. A, 85, p. 412. 



3 Siehe zum Beispiel de la Vallee Poussin, Couis d'analyse, tome II (2. edj, p. 134. 



