Darstelhmg gegebener Funktionen. 



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ist notwendig und hinreichend, daß zu jedem Teilintervalle <: a, ß :> von <; a, ^ :> ein M 

 gehört, so daß für alle ;/, und alle x von <. a, b :> (abgesehen von einer Nullmenge): 



(12) 



y' r (0,(^)^1. c-i,(.v) 



M. 



Diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn die Bedingung von Satz VII erfüllt ist. 



Hingegen reicht Bedingung (12) noch keineswegs aus, um das Bestehen folgender Beziehung sicher- 

 zustellen, die wesentlich mehr besagt als (1 1): 



(13) 



lim I /(.r) — V/v lOv (x) 



dx = 0. 



Das Bestehen dieser Beziehung für jedes in <: a, ^ >» integrierbare /hat nämlich, wie aus einem 

 Satze von Lebesgue i folgt, das Bestehen der Parseval'sehen Formel für jedes integrierbare/und 

 geschränkte ^ zur Folge. Es kann also, wenn es sich zum Beispiel um Fourier'sche Reihen handelt, (13) 

 nicht für jedes integrierbare /gelten. 



§5. 



Nachdem wir gesehen haben, daß die Parseval'sche Formel keineswegs für jedes vollständige nor- 

 mierte Orthogonalsystem (o.; (-v) und jedes Paar von Funktionen /(.r), ,§'(.v-) gilt, \-on denen die eine 

 geschränkt, die andere integrierbar ist, wollen wir die Frage behandeln, ob sich nicht Summalionsverfahren 



angeben lassen, durch die aus der Reihe: 



z 



/v.^v 



eine Folge von Ausdrücken hergeleitet wird, die stets gegen: 



f(x)g{x)dx 



konvergiert, wenn von den beiden Funktionen / und ^' in <^a,b^>- die eine geschränkt, die andere 

 integrierbar ist. Zur Lösung dieser Aufgabe werden wir geführt durch fo'genden Satz: 



VIII. Es genüge der Kern 'f (I, -r, m) allen Voraussetzungen von Satz II. Ist dann/(.v) in 

 <: a, & :> integrierbar und ^'(.v) in <: a, ö >> geschränkt, so ist: 



(1) 



r / ix) g (X) dx = lim r 4 (f, X) g (X) dx. 



Ja " = °° Ja 



In der Tat, nach Satz II ist: 



um 



H= OO . 



l/(.v)-4C/;.r)| J.r = 0, 

 daher, wenn g (x) in <z a, b:> geschränkt ist, auch: 



und somit auch: 



(2) 



wodurch (1) bewiesen ist. 



lim r 1^ 



»=PoJa 



lim r g (,i 



'•=°°Ja 



{x)\.\f{x)-I,(J,x)\ dx = 0, 



x)(J-(x)-I„tf,x))dx = 0, 



1 Salz III meiner ersten Mitteilung. 

 Denltschriflen der mathem.-nalurw. Klasse, 03. Band. 



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