682 H. Hahn, 



Dieser Satz wurde unter wesentlich engeren Voraussetzungen über tp {i,x, n) bereits von H. Lebes- 

 gue bewiesen. ^ 



Eine unmittelbare Folge aus Satz VIII ist folgende Bemerkung: 



Sei (Ov (.t) (v =1,2,...) ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem des Intervalles <: a, b >-, und 

 sei jedes einzelne w., (.r) in <: a, b :>• geschränkt. Es existieren dann in bezug auf dieses Orthogonalsystem 

 sowohl die Fourier'schen Konstanten /^ von/(.r) als auch die Fourier'schen Konstanten is, («) von I,i{f,x) 

 und zwar ist: 

 (3) /, = lim F, (n). 



n = oo 



In der Tat, wir haben, um (3) zu erhalten, in (1) nur^'(.r) durch lü^ (,r) zu ersetzen. Dies legt den 

 Gedanken nahe, daß man das gewünschte Summationsverfahren einfach erhält, indem man in der Reihe: 



oo 



v = l 



immer _/v durch i^; («) ersetzt und den Grenzwert lim bildet. Wir werden sehen, daß dies in der Tat, 



H = oo 



unter weiteren Einschränkungen über tp (?, .r, w) richtig ist, und zwar ohne jede Einschränkung 

 bezüglich des Orthogonalsystems der to., (.r). 



IX. Es genüge 'f (?, .V, «) für a ^ ^^ Z^, a ^ ;i.' ^ Z' außer den Voraussetzungen 1., 2., 3., von 

 Satz II noch folgender Voraussetzung: 



4. Zu jedem« gibt es ein Af„, so daß im ganzen Quadrate: a -^i-^ b, a-^x ^b die 

 Ungleichung gilt: 



!tp(€, .-t, m)| <M„. 



Ist dann ü).; (,r) ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem in<:(7,^>>, und wird 

 gesetzt: 



F, (n) = f ll fi^)'f (i ^> ■«) äi\'i^, (X) dx, 

 so gilt für jedes in <; a, ^ >- integrierbare/ und jedes in <: a, & >» geschränkte ,§' die Formel: 



/ f {x)g {x) dx = lim ) F^ (w).^v. 



Ja K=oo i—J 



v = l 



Unter Berufung auf Satz VIII genügt es nachzuweisen, daß: 



(4) 



(5) 



ist. Wegen unserer Voraussetzung 4. ist nun aber: 



n (/, ^;l ^ C\f (?) ? a -1-, ^'')i di ^ M, C\f{h)\ di, 



Ja • Ja 



das heißt für jedes einzelne n ist /„ (/, x) in <: a, ^ >- geschränkt. Da nun die i% (w) nichts anderes sind, 

 als die Fourier'schen Konstanten von /„ (/, x) und für jedes Paar geschränkter (und somit samt ihrem 

 Quadrate integrierbarer) Funktionen das Parseval'sche Theorem gilt, ist (5), und damit Satz IX bewiesen. 



1 Ann. de Toul. Ser. .3, Bd. 1, p. 105, 



