Darstellung ^i^egebener Fniikfioi/eii. 683 



Um aus Satz IX speziell Resultate über die Koettizienten der 'Fourier'schen Reihe zu erhalten, haben 

 wir für die o}.,(x) das trigonometrische Orthogonalsystem für das Intervall <: — -,-:> zu nehmen: 



cos yx, — -=sm yx ty := l, 2,. . .). 



\/2 ir \A s/'^ 



Wir ss'tzen: 



«v = — fV© cos v£ d^: b., = — Cfi^) sin v^ di, 



ci.., = '- g (^) cos V? dt ßv = — ( , 



(^) COS V? (^s; ßv = — ,§■ (i) sin vt dt 



Wir nehmen weiter an, der Kern 'f (i, v, 7t) habe die Gestalt: 



rp (6, a;, H) — 'f (^— -v, m), 



wo 'f (w, «) für jedes it in <: — 2 ä, 2 7r>> definiert sei und den Relationen: 



« C — m) = 'f (u); 'i («4-2 t:) =: (C (/t) 

 genüge. Setzen wir noch: 



/ <p (m, m) cos VM rf/( =: tpv (m), 



so wird: 



— 1=^ \ i 1 f(^) 9 (i~x, n) dV\ cos vx dx — 



7= I /(^)' / 'f(w, "") cos V(| — /i)^wUf| = v/TT.tpv W ßv, 



— ^,-= / / /(4) '^ (I — A', m) tZ^ sin v,r ^a- ^\/'r '-Ov (n)'b.„ 



und (4) geht über in: 



1 r* 



(4a) 



ii 



I /(-^•).§(^) ü?-^= lim |'f„ (V) -'?^- + y rp, (m) (a,a,^-^ßv)i■ 

 Jfl // = oo 2 -^ 



Hier wird also die Parseval'sche Reihe summiert, indem ihre Glieder mit denKonvergenz erzeugenden 

 Faktoren 'f., (n) multipliziert werden. 



Wählen wir dann für 's(it,ii) den Poisson'schen Kern: 



1 l—r^ 



'f {u, ■») = — - :; — ; {r„ < h lim ;'„ = 1 ), 



zu 1 — 2 r„ cos // + r,-, « = oo 



so wird: 



und Formel (4a) ergibt: 



(6) 



1 r- 1 °° 



— I ZW.? W dx — ^-a^fx^-h lim V r'- (a.. cl, + h%) 



TZ J_j 2 r = l-0 ^-- 



für jedes Paar von Funktionen /,^, von denen in <: — ic, ir 2> die eine integrierbar, die andere geschränkt 

 ist. 1 ormel (6) wurde bewiesen von W. Groß. ' 



1 Wien. Ber. Abt. U.i, Bd. 124, p. 1025. Sie ergibt sich übi-igens, ebenso wie die Formeln (7 und (S) auch als Spezialfall 

 einör Überlegung von W. H. Young. Hroc. lioyal Soc. .\., S5, p. 401 fl'. 



