684 H. Hahn, 



Wählt man für '^{u,n) den Fejer'schen Kern: 



? («, 11) = 



1 



;wz 



mi 



sin 



2 



sin — 

 2 -< 



SO geht (4a) über in: 



(7) ^P^""'' 



1 



;;v)^(,r)J.r = — ^^«0+ lim 



2 ;i = oo ^J \ ?i 



M = l 





Wählt man für '£ {ti,n) den Kern von de la Vallee Poussin: 



7t (2?0/ l 2 



so geht (4a) über in: 

 (8) - j 



fix) g (.r) dx = — a, a, + lim ) — — 



- 2 « = oo Z_j (m— v)/(« + v)/ 



v=l 



(ava, + Z7,ßv), 



und die Formeln (7), (8) gelten für jedes Paar von Funktionen, von denen in <: — 7t, +7t 

 intesrieibar, die andere geschränkt ist. 



die eine 



§6. 



Der im letzten Paragraphen zur Summation der Parseval'schen Reihe verwendete Gedanke kann 

 auch zur Summation der Reihenentwicklung: 



^/; Wv (x) 



einer gegebenen Funktion /(-r) nach den Funktionen oy, (x) eines vollständigen normierten Orthogonal- 

 systemes verwendet werden. Man erhält so augenblicklich folgendes Summationstheorem: 



X. Ist f (i, x,n) für jedes ;; und je des x \'on (a, b) nach i samt seinem Quadrate integrierbar 

 in < a, b >», und wird gesetzt: 



(1) <&v (.V, «.) = f 'f (i X, 11) (0., (6) di, 



so gilt, wenn/(,v) in <r a, Z'>> samt seinem Quadrate integrier bar ist, die Formel: 



oo 



(2) f{x)= lim V/, 4>, (.r, M) 



11 = 00 i—i 

 v = 1 



in jedem Punkte ,r von (a, Z7), in dem: 



(3) /W= lim \ fi^)'!i{h,x,n)d%; 



" = °°Ja 



sie gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <a, ß :> von (a, b). in dem (3) gleichmäßig gilt. 



Bedingungen für 'f (I, ,r,«) unter denen (3) in jedem Punkte von (a, &) gilt, in dem die Funktion/ 

 stetig, oder erste Ableitung ihres unbestimmten Integrales, oder m-te Ableitung ihres w-fach iterierten 

 unbestimmten Integrales ist, sowie Bedingungen, unter denen (3) gleichmäßig in jedem Teilintervalle 

 -< a, ß >- von (a, b) gilt, in dessen sämtlichen Punkten/(A-) stetig ist, findet man in der wiederholt zitierten, 



