Darstellung gciichciur Fiiiiktioneii. 685 



für diese Theorie grundlegenden Ahiiandlung von H. Lebesgue, ' sowie in meiner 1. Mitteilung übei- 

 diesen Gegenstand. 



Es handelt sich noch darum, uns von der Voraussetzung frei zu machen, daß auch das Quadrat 

 von/ in <; a, .& >> integrierbar sei. Damit die Fourier'sche Konstanten f., für jedes integrierbare/ 

 existieren, müssen wir dabei wieder voraussetzen, daß jedes einzelne w,, (i) geschränkt ist in < a, b :>. 



Satz V liefert uns dann folgendes Summationstheorem; 



XI. Sei cp (?, .r, M) für jedes einzelne;; und jedes einzelne ,r \'on (a, Z?) eine in -< c?, ö >- 

 geschränkte Funktion von i. Ferner gebe es zu jedem ;; und jedem ,r \'on ü;, h] ein .1/, so daß 

 für die durch d ) definierten Funktionen ^-Ax, ") die Ungleichung: 



M 



y *v (x, nyoy, (g) 



V = 1 



gilt für alle u. und alle i \"on <:a, b :>-. 



Dann gilt für jedes in <: rf, ö 5^ integrierbare/die Formel (2) in jedem Punkte .v von 

 (a, ö) in dem (3) gilt; sie gilt gleichmäßig in jedem Teilin tervalle <; a, [5 :> \'on uz, Z'), indem 



(3) gleichmäßig gilt. 



Besonders einfach gestaltet sich, wie M. Schechter bemerkte,- die Summationsformel (2) für den 

 Fall des trigonometrischen Orthogonalsystemes im Intervalle -< -^, tt 5*, wenn 'j (^, .v, ;;) die Form hat: 



'f, («, X, n) = (E (I — -v, n), 



wo 'f ('/;, ;;) eine in -< — 2 ir, 2 te >> definierte, gerade Funktion der Periode 2 t: ist. 



Sind dann c7.„ ^., die Koeffizienten der Fourier'schen Reihe von f, und wird wieder ('wie in § 5) 

 gesetzt: 



'i,, (n) = I 'f (;;, ;;) cos v;; ilii, 

 so nimmt (2) die Form an: 



(4) f (x) ^ lim } — (E|, (n) a^^ + \ % (;;) {a,, cos v.r+fc., sin '/x)\. 



" = ~|- ' .,^, ' I 



Alle gebräuchlichen Summationsformeln der trigonometrischen Reihen sind Spezialfälle dieser 

 Formel. 



In meiner 1. Mitteilung habe ich Bedingungen für 'f (g, ,r, in entwickelt, unter denen überall, wo die 

 in-\.e Ableitung/("'^ (;vi von/(,r) existiert, die Relation gilt: 



(5) /('") (.r) = lim / f{i)'s(lx,u)dl 



lim / 



sowie Bedingungen, unter denen diese Relation gleichmäßig in jedem Teiliniervalle -< a, ß :> von (a, ^) 

 gilt, in dem/(,r) ///-mal stetig differenzierbar ist. Und wir sehen: 



XII. Gilt (5) in jedem Punkte .r von (a, ^), in dQmf'^"'Hx) existiert, und zwar gleichmäßig 

 in jedem Teilintervalle <: a, ß >» von (ß, Z»), in dem/(.r) ///mal stetig differenzierbar ist, so 

 gilt, vorausgesetzt, d a ß rp (g, .r, ;;) den Bedingungen von Satz XI (beziehungsweise Satz X) 

 genügt, dasselbe von der Formel: 



oo 



(6) fO") (x) — lim y y; <!),, ix, u) 



1 .Sur les integi-ales singulieres, Ann. de Toul. Serie 3, Bd. 1, p. 25 ff. 



2 Monatsh, f. Math. Bd. 22, p. 224. 



