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H. Hahn, 



für jede in <: a, ^ >> integrierbare (beziehungsweise samt ihrem Quadrate integrierbare) 

 Funktion /(.r). 



Handelt es sich um das trigonometrische Orthogonalsystem und hat cp (4, x, ii) die Form (c (i — x, n), 

 wo cp (m, n) gerade und von der Periode 2 z ist (dies kommt nur bei geradem m in Betracht), so reduziert 

 sich (6) wieder auf: 



(7) 



/('") (x) ^=. lim ) — '^Q (n) a^ + \ tp., («) {a-, cos v,i' + h., sin v.r)J 



Hat hingegen (was bei ungeradem vri in Betracht kommt), «p (?, .v, m) die Form rp (I — .r, «),' wo tp («, m) 

 eine ungerade Funktion der Periode 2 :: ist, so reduziert sich (6) auf: 



{1 a) 



worin gesetzt ist: 



j\m) i^^ -- ij,i^ ) \ tpv(M)( — <^; sin v,r + ^, cos v;t;)\, 



äv in) z:^ j '£ (m, //.) sin v/-/ t///. 



Wohl der einfachste Kern eines singuiären Integrales ist der folgende, wo /; eine beliebige positive 

 Zahl bedeutet: 



f 1 



(8) 



Setzt man: 



so wird: 



'5 (?, X, h) — ' 



2 h 



in (x—h, x+ h) 



außerhalb (x — h, x + h). 

 F(x) — \ fit) dl, 



F (x + h)—F(x~h) 



f(i) '-i (i, ,1-, /;) c/i — 



2 h 



und somit gilt die Beziehimg: 



(9) 



in jedem Punkte .v von (a, b), wo: 



(10) 



fix) = lim /(E.) 'f (fe, ;r, h) dg 



f (x) = lim 



F{x+h)-F {x-h) 

 2h 



ist, insbesondere also dort, wo /Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. Nach Satz XVIII meiner 

 1. Mitteilung gilt (9) gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß >- von (a, b), in dessen sämtlichen Punkten/ 

 stetig ist. Aus X und XI haben wir also: 



XIII. F'ür jedes normierte Orthogonal System von <;«,&> gilt die Formel: 







1 x:-'\ /"■■'■+'' 

 fix)=^ lim — - ) / oi.,{i)di 



'x-h 



für jede in <: a, b ::> samt ihrem Quadrate in^legrierbare Funktion /in jedem Punkte von {a, b), 

 in dem (10) gilt; sie gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß > von (0, ^), in dessen 



