Darsiellnng gegebener Funkt innen. 687 



sämtlichen Punkten/stetig ist. — Dies gilt für alle in -< a, ^ >» integrierbaren Funktionen, 

 falls es zu jedem Teilintervall <:a, ß>- von (a, h) ein ilf gibt, so daß: 



(12) 





f ü r a 1 1 e .r V o n <; a, & >- u n d a 1 1 e |Ji. 



Der einfachste Kern, der/'(ar) durch /(;!;) darstellt, ist der folgende: 



(13) 'f {i, X, h) =1 in ix, x+2h), z= in (x~2h, xj, sonst = 0. 



4h^ 4 h- 



Wir haben hier: 



'f(^,i^,x,J^)ä,= n^^2k )-2Fix)^F(x-2H) 



und es gilt die Beziehung: 



/(:>:)= lim f f (^) 'f (i x, Ji) di 



in jedem Punkte x von (a, b), in demf (x) existiert. Sie gilt nach Satz XI meiner 1. Mitteilung gleichmäßig 

 in jedem Teilintervalle -< a, ß 5> von (a, &), in dem/(.r) stetig differenzierbar ist. Aus Satz XII haben 

 wir also: 



XIV. Für jedes normierte Orthogonal System \'on <: a, ^7 >- gilt die Formel: 



oo 



1 ^ I /^x + 2h 



(14) / (x) z= lim — - ) /, CO, (^) di - OK ii) d^\ 



für jede in <: a, Z> >- samt ihrem Quadrate integrierbare Funktion/^ in jedem Punkte von 

 (a, Z)), in demy(a;) existiert; sie gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß >- von (a, &), in 

 dem/stetig differenzierbar ist. — Ist Bedingung (12) erfüllt, so gilt dies auch für jede in 

 -<. a,b:> integrierbare Funktion/. 



Um zur Darstellung der höheren Ableitungen /^'"•'(,-k) zu gelangen, definieren wir z (c, x, li) für h :> 

 durch die Vorschrift: 



(15) ■!>(i,xJi)—(-\y ^ {'^\ \n(x+{in-2k-\)Ii, x+ Hn-2k+\) li) (k — Ö, 1 mj. 



(2/4'" ■'•<U/ 



außerhalb aller dieser Intervalle sei •£ (^, x, li) =: 0. 



Wie man sieht, wird dann, wenn /? so klein ist, daß das Intervall <: ,r— (;;/+!) /', .v-t- (;;?.+ 1) /; :> in 

 <ca, ö >- liegt: 



Hl 



f'fd) 'f (I, X, h) di= ^ y (-ly r'^]{F (x + (i„^2k+])h)~F (x+un- 2k~\) h)} 



(16) 



1 v^ . ..Jm + i 



(2h)"' *-^ /-j 



Wählen wir/(;i') = x\ so wird: 



(.t — a)'-! 



y (- 1)* ^'\f{x+ m-2k+ 1) h). 



F (x) = 



i+l 



