688 H. Hahn, 



und da bekanntlich: 



«1 + 1 



(17) ' V (-iy^h + >(.v+ («.-2>fe+l)/0 = Öfürf w := (,,.-«)' (/ = 0, 1,..., m) 

 (2 lif" + 1 ^^ \ -^ / U '« + 1 ) ■' für i^ (a') = {X - a)"' + 1 



ist, so sehen wir, daß der Kern (15) alle Voraussetzungen von Satz VII und Satz XI meiner 1. Mitteilung 

 erfüllt. Das liefert den Satz: 



XV. Für jedes normierte Orthogonalsystem von <£?, i^> gilt die Formel: 



oo I in . , \ 



(18) /('")(;,) = hm V/;.y(-l)M (Ov(l)^l 



für jede in <; a, ^ >- samt ihrem Quadrate integrierbare Funktion/, in jedem Punkte von 

 {a, h), in dem/("') {x) existiert; sie gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß :> von {a, b) 

 in dem/ OT-mal stetig differenzierbar ist. — Ist Bedingung (12) erfüllt, so gilt dies für jede 

 in 'cz a,b ::>■ integrier bare Funktion/ 



Wir wollen nun die Formeln (11), (14), (18), speziell auf die trigonometrischen Reihen anwenden, für 

 die Bedingung (12) bekanntlich erfüllt ist. Da der Kern (S) die für die Giltigkeit von (4) erforderliche 

 Gestalt hat, kann (4) angewendet werden. ^ Dabei ist: 



1 C' , ä'mvh 

 'f., (n) = — I cos vudn =: , 



2/«J_;, vh 



so daß (^1 1) hier lautet: In jedem Punkte .t von ( - t^j-k) in dem /"zu seinem unbestimmten Inte- 

 grale i^in der Beziehung steht: 



f [x) = hm ^ ■- , 



;; = n 2h 



gilt für jedes in <; —tc, jt :> integrierbare/ die Formel: 



(19) / {x) = hm {-^ + ) (a.j cos vx+b., sm vx)) ; 



Ä = o 2 -ii-i v//. 



sie gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß >> von( — 7r,u), in dessen sämtlichen 

 Punkten/stetig ist. 



Betrachten wir nun den Kern (13). so kann (7 a) für in =: 1 angewendet werden. Dabei ist: 



1 n'' . . 1 r" . , /sinvÄ\2 



'S)., (n) =z I sin v/A au -- 1 sin vm dti = v» - 



4h^~Jo 4/i2J_,„ [ 



\ vh 



und wir erhalten: Für jedes in <: — 7t, ir 2> integrierbare/ gilt in jedem Punkte von ( — it, tt), in 

 dem die Ableitung/' existiert die Formel: 



oo 



sin vM 



(20) f (x) ^zz lim ) j \ (—v-a., sin vx + V'b,, cos vx); 



ft = / — I \ v/i / 



V = 1 ^ 



sie gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß :> von ( — it, 7t), in dem/stetig differenzier- 

 bar ist. 



Betrachten wir den Kern (15) für ungerades m, so können wir wieder (7 a) anwenden, und zwar 

 erhalten wir nach (16): 



m + 1 



».; (n) = — V ( — 1)* (^* 1 cos (m — 2k+l) vÄ. 



(2Ä)'»+i V. 4-J \ Ä ' 



1 Vgl. M. Schechter a. a. 0., p. 232. 



