Darsfclluug gegebener Fnnkiioiien. 



Das ist der reelle Teil von 



H + 1 



m + 1 



1 1 V^ . .,:./»' + 1 \ , , „ ,x ,. • 1 l , , . , ^ ;n + 1 



^ ' ' " ■■ ' ' ' n/A.i.. '•/hl ^— vÄA'" + i — 



= _,•,« + ! ' sinvÄV»*^ 



(2Ä)'»+i V 4-j \ k j {2 h) 



— _ /"i + W — 



und da /;/ ungerade ist, so ist /"' + i reell, und es ist somit: 



. , / sin vÄ V""^^ ,„ 



(pv (m) 



v& 



Betrachten wir den Kern (15) für gerades m, so können wir (7j anwenden, und zwar erhalten wir 

 nach (16): 



m + 1 

 1 1 V , ,s. /W« + 1 



(E, (n) = \ (- 1)M ^ sin (m-2 k+ 1 ) vÄ. 



(2Ä) 



Das ist der imaginäre Teil von: 



m + l 



_ J_ V (_1)*[ ) e(w + l-2Ä-)v/!i — jm +1 



V 



(2Ä)'»+i V Zj \ ä / \ v/z 



und da w gerade ist, so ist ?"'+i rein imaginär, und es ist somit: 



. /sinvÄ\'"+i ,„ 

 Tv (^^) = ^"' -^^ ' 



Wir haben somit das Resultat: Für jedes in <: — -, - >> integrierbare/ gilt in jedem Punkte 

 von ( — 7t, 7t), in dem die m-te Ableitung/^"') existiert bei ungeradem ;;/: 



OO »/ +1 



(21) /("■) (x) = — /■'"+! lim y [ ^'" '^ ' ) (-v"' a, sin v.v+V" b., cos v.r), 



/i = o -^ \ vh 



V = 1 



bei geradem m: 



OO m+l 



/sin v7i\ 



(21 ß) /'") (x) = ?■'" lim y 1 (v'" a, cos v.r+v'" ^^ sin v.r). 



7j=o z_i \ v/f. y 



V = 1 



Diese Formeln gelten gleichmäßig in jedem Teilintervalle <; a, ß 5» von ( — t:, z), in dem/ 



«2-mal stetig differenzierbar ist. 



Wie man sieht, erhält man die rechte Seite dieser l'ormeln, indem man die Kourier'sche Reihe von/ 



/sin v/z\"' + ' 

 gliedweise «z-mal differenziert, jedes Glied multipliziert mit und den lim bildet. 



\ V h ) li= n 



Bemerken wir zunächst, daß, wie die Herleitung der Formeln (21) und (21 ci) zeigt, auf ihrer linken 

 Seite/"") (,v) ersetzt werden kann durch den etwas allgemeineren Ausdruck: 



»1 + 1 



lim i y (- 1)* r' "^ M F (.r + du - 2k+ 1)//), 



;. = o (2/0'"-^! /L^ ' \ k ' 



in dem F{x) das unbestimmte Integral von/(.rj bedeutet. 

 Setzen wir bei ungeradem m: 



OO 



Ft„ (x)=: —/'«-! y _ (—a., sinv.v+^, cosv.-k), 



v= 1 

 Denkschriften der mathem.-nalur«-. Kl.i-;.'!!', 91. fiand. f)o 



