690 H. Hahn, 



bei geradem m: 



°° 1 

 i^,* (.r) = i"' ) — (ßv cos v;i?4-&v sin v;t:), 



v = l 



so ist i^*j {x) ein «w-fach iteriertes unbestimmtes Integral von/(;t;) — — . Wenden wir auf F,*,_i (a;) die ent- 

 sprechende der beiden Formeln (21), (21 a) an, so erhalten wir den Satz: 



Für jedes in<:— :r,:ü>- integrierbare/ gilt in jedem Punkte von ( — Jt, it), indem/mit 

 seinem w-fach iterierten unbestimmten Integrale Fm {x) in der Beziehung steht: 



(22) fix) = lim -^ y (-1)* r i^,„ (^+(m-2*) Ä), 

 insbesondere also überall dort, wof{x) m-te Ableitung von Fm (x) ist, die Formel: ^ 



OO 771 



^, ^ an \n fs\nvh\ 



(23) /(^)=-^+lim ) {a-t cos vx+b^ smvx). 



2 H = o ^ \ vh 



V = 1 



Diese Formel gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a, ß:> von (— x, it), in dessen 

 sämtlichen Punkten/stetig ist. 



Ebenso wie die Formeln (21), (21 a) ledighch einen Spezialfall von (18) darstellen, ebenso ist (23) 

 lediglich ein spezieller Fall eines allgemeinen Summationstheorems für Reihen nach Orthogonalfunktionen, 

 das noch kurz envähnt sei. 



Wir bezeichnen den Kern (15) mit tp("') (6, x, h): 



(24) (5('") (i, X, h) — (- 1)* ^- r''\ in {x+(m-2k~ \)lt, x + (m-2k+ l)h) (k = 0, 1, . . ., m) 



' (2/0'"+i \kj . ' ' . 



cp("') (^, X, h) ^= außerhalb dieser Intervalle, 

 und führen die iterierten unbestimmten Integrale von tp^'") {i,x,]i) ein durch: 



(25) $(«)(!, .-ir,A) = tp('»)(a,^',/0; 4>(»') (5, ;v, Ä) = T ^TH^, ^, h) dl 



Jx — («j + 1) h 



Zunächst sehen wir, daß wir außerhalb (x—(m + 1) h, x + (m + l) h) haben: 



(26) a>(f ) (I, X, Ä) = (i = 0,l,..., m). 



In der Tat, dies ist richtig für / = 0. Angenommen, es sei richtig für i ^ «g, so wird es auch 

 für /g+1 gelten, wenn: 



Xx + (m + l) h 

 $(;") (?, X, li) di = 

 ~(m + l) h 



ist. Durch mehrmalige partielle Integration finden wir aber: 



Xx + (in + l) h 

 - (m + 1) Ii 



( 1 V'o rx-¥(^m + l) h 



*(|;') (£, X, h) d i = -^--^ / tpC«) (i, X, h) . i'o d i, 



'o • Jx — (m + 1) h 



und wie wir m (17; gesehen haben, ist dies tatsächlich =0 für /p < w, wodurch (27j bestätigt ist. 

 Und damit ist (26) durch vollständige Induktion bewiesen. 



1 Für m = 2 ist dies die bekannte Riemann'sche Sii mmationsmethode, vgl. M. Schecliter a. a. 0., p. 233. 



