Darstellung gegebener Funktionen. 691 



Sei nun x ein Punkt von (a, b), und /? > so klein gewählt, daß <: x—(m+ 1) h, x+(-m+ 1) h :> in 

 {a, b) liegt. Dann haben wir, unter Berücksichtigung von (26), durch partielle Integration ("wobei mit 

 Fi(x) die iterierten unbestimmten Integrale ^ von /(;i;) bezeichnet sind): 



r v,„ (I) cpc«) (% X, h) di = (- 1)"' r / © $(,f ) a X, h) dl 



Ja Ja 



Da nun, wie wir wissen: 



f{x) = lim r f,„ (?) tpC".' (1, -r, A) di 



^ = '^Ja 



ist in jedem Punkte von (a, b), in dem/(.r) die m-te Ableitung von F,„ (x) ist, oder allgemeiner, wo: 



in + l 



(28) / (^) = lim -— -— y (- 1)* r ?■ 1 ^» « (-^+ (^^ - 2 Ä+ 1) Ä) 



;» = o (2Ä)'»+i Z_i \ k J 



ist, so ist in jedem solchen Punkte auch 



f(x) = lim (-1)'" f/d) *W (I, -r, Ä) dl 



Wenden wir auf dieses Integral die Parseval'sche Formel an, so erhalten wir schließlich: 



XVIII. Sei der Kern #(,'f> (i, x, h) nach (25) aus dem Kerne (24) hergeleitet und es 

 werde gesetzt: 



(- 1)*" / ^'^^'^ Ä X, h) '"v (4) di = QC> {X, h). 

 Für jedes normierte Orthogonalsystem von <.a, b:> gilt dann die Formel: 



oo 



(29) f{x)= ^Hm 2]/v Q^rK*, /^) 



V = 1 



für jede in <:a,b:>' samt ihrem Quadrate integrierbare Funktion f, in jedem Punkte 

 von (a, b), in dem (28) gilt, insbesondere also in jedem Punkte von (t?, &), in dem /(///+ l)te 

 Ableitung seines (OT+l)-fach iterierten unbestimmten Integrales ist; sie gilt gleichmäßig 

 in jedem Teilintervalle <:a, ß r> von (a, b), in dessen sämtlichen Punkten / stetig ist. 



Dies gilt für alle in <: a, b:>- integrier baren Funktionen/^ falls es ein 7\/ gibt, so daß 



(30) 



y i w., (s) d^'(ü.,{x)\<: M 



|v = l 



für alle Teilintervalle -< a, ß r> von (a, b), alle x von <i:a, b >' und alle ji. 



Eines Beweises bedarf nach dem Gesagten nur mehr der letzte Teil der Behauptung, und auch 

 dieser Teil wird bewiesen sein, wenn wir zeigen, daß, wenn Voraussetzung (30) gilt, auf das Integral: 



I 



/(l) *i^"> ii ^', h) di 



Das heißt, es ist foW =/(«); Fi .yt {x) ^ i Fi (x\ d x 



