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H. H ah u , Diir^tcllnug gL\iit'bt'ner Fiinktionen. 



für jedes in <:t7, Z'>- integrierbare / das Parseval'sche Theorem angewendet werden kann. Dies aber 

 wird, nach Satz V, der Fall sein, wenn es zu jedem /; >- und jedem x von (et, b) ein Abgibt, so daß: 



(31) 



> I «>(»') (6, 5;, 7«) CO, ® Js-co, (a;) 



7V 



für alle jj. und alle .v von -<t!, Zi ;> . Nun ist jedes <l>.5,',") (i, ,v; /?) in <ca,b>- geschränkt und von 

 geschränkter Variation. Bezeichnet 4> {x, h) eine obere Schranke für | $$,'") (I, x, h)\ für alle ^ von 

 <:a, Z'>- und F (^, h) die Totalvariation von <!>(,',""• (6, f, //) in <: a, &:>, so liefert der zweite Alittel- 

 vvertsatz der Integralrechnung, bei Berufung auf (30): 



i/a 



^ifi {% ^, J') 2 Wv (5) o)v (.r) ^i 



^ (4>(J, 70+ F(*, /i)).ilf, 



wodurch (31) bewiesen ist. Damit ist der Beweis von Satz XVIII beendet. 



Die Berechnung der Ausdrücke ü^'"^ (x, h) in (29) ergibt für in =: 1 und m =z 2: 



Q<,1) (x,h) = — ^ r (i-x+2h) (0., (I) di - 



(2 70U.-2;, i2hyj. 



(a".v-27?)co, (^) 6/i 



1 1 i^x — h 1 /'*-+/! 



Q(?) ix, h) =: - — — (6-;.+370-^ CO, (5) d^ - — — {(^-,ry—3h2} co, (1) ^4 + 



2 (27«)3 J;,_3,, (2 7;.)3 J.^_,, 



1 J /^.^- + 3 Ä 



2 (270^J,,„ 



($-;i.'-37z)2oj, (^) J6. 



Endlich sei noch erwähnt, daß wir, unter Berufung auf Satz II und auf Formel (4a) von § 5, 

 die durch (23) gegebenen Summationsformeln der trigonometrischen Reihen ergänzen können durch 

 die Theoreme: 



Setzt man: 



oo 



-r,. ^ , ,^ t^n V^ (sin vh\"' , 



äC») (x, 7«) = — 2- + y (ß, cos vx+b., sin v,r), 



v = l ^ ' 



so gilt die Beziehung: 



lim / " [f (x) - R('"> ix, h) \ dx — 0. 

 /( = » J_- 



Für jedes l^aar von Funktionen /" und g, von denen in <: - k, 70-die eine integrierbar, 

 die andere geschränkt ist, gilt: 



oo 



1 r/(.),-(..)..v=^+lim y(^MVa. + Z.„ß.). 



v = l 



