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Die Aj . . . usw. sind Größen, die, abgesehen von den Konstanten der 

 repräsentierenden Hypothese, lediglich von der mittleren Entfernung des be- 

 treffenden Planeten abhängen. Bezüglich der beiden Integrationsvariabein a' 

 und f verhalten sich nun die Koeffizienten A t usw. insofern verschieden, als 

 die Abhängigkeit des Integranden von J analytisch, die von a' dagegen nur 



empirisch gegeben ist; als Funktion von f betrachtet ist — ~ — - ein elliptisches 



Integral dritter Gattung. Das ist für die numerische Weiterbehandlung der 

 Frage unbequem, da man dadurch auf die weitgehenden Hilfsmittel, welche für 

 die numerische Berechnung der Integrale 1. und 2. Gattung vorhanden sind, ver- 

 zichten muß. Es ist jedoch unerläßlich, diese Integration streng durchzuführen, 

 da der für die weitere numerische Untersuchung so wichtige Differentialquotient 



ö 2 V(r) . ÖV(r) 



— = — k~ nur durch graphische Differentiation von — = — - erhalten werden kann; 



man muß daher unbedingt die Kurve „ selbst mit größter bei der Natur 



des Problems noch lohnender Schärfe berechnen; jedenfalls darf, soweit die 

 Rechnung streng durchführbar ist, kein Fehler entstehen, der gegenüber der 

 unvermeidlichen Unsicherheit, wie sie durch die empirischen Häufigkeitskurven 

 eingeführt wird, ins Gewicht fällt. Es müssen, wie ich also noch einmal be- 

 tonen möchte, beide Integrationen numerisch durchgeführt werden, sowohl die 

 über J, von dem der Integrand in analytisch wohl definierter Weise, als auch 

 über a', von dem er nur in empirisch bestimmbarer Form abhängt. Um diese 

 Operation einer doppelten numerischen Integration zu vereinfachen, will ich 

 zunächst die Koeffizienten in 24) noch etwas transformieren. Dazu soll zu- 



d V(r) 

 nächst r, eine andere analytische Form, als 12), erhalten. J war dort 



der von der Sonne aus gezählte Winkel. Wir wollen nun unterscheiden 



zwischen dem Anteil von — -± — , welchen die innerhalb, und dem, welchen 



die außerhalb des Aufpunktes gelegenen Zylinderschalen ergeben. Der erstere, 



Anteil sei mit I „ ) , der zweite mit — — - bezeichnet. Wir führen 

 Ldrja' LorJi 



nun statt der einheitlichen Integrationsvariabein f je eine neue, für die beiden 



unterschiedenen Fälle verschiedene, Variable ein. Nämlich in I ~ I den 



Winkel cp gerechnet um den Spiegelpunkt des Aufpunktes in bezug auf den 



Kreis mit dem Radius a', und in ' I . den Winkel <p um den Aufpunkt 



selbst herum ein. Es vereinfacht sich durch diese Substitutionen das Inte- 

 gral 12) in der folgenden für die numerische Rechnung höchst wesent- 

 lichen Weise: 



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