Klinogonale DarstelUmg der Rotationsfláclien. 5 



Ebeiiso einfach gestaltet sicli selbstreclend die Losung der 

 dualen Aufgabe. 



In Fig. 3 ist eiiie Ellipse E durch die conjugirten Durchmesser 

 aa^ , b\ gegeben ; man construire den Pol 5 der Geraden S beztiglich 

 E. Wir bringen S mit bb^^ iind aj)-^ in den Pimkten /3, e respt, zum 

 Sclinitt, ziehen ^h\\ zu a&j und eh\\ zu aa^^. Dann hat bji die 

 Richtung des Durchmessers ms. Denn betrachten wir die Ellipse als 

 scliiefe Projection des Kreises, so ist im Raume (Ji) der Hohenschnitt 

 des Dreiecks {bj)((i)(e). 



Infolge Fig. 1 ist bs\\ zu /5r, somit s bestimmt. Die Schnitt- 

 punkte 2^1 von S mit E geniigen wie friiher der Relation: 



np"^ zz ni . nll. 



4. Wird s unendlicli fern angenommen so konnen wir auf zwei 

 verscliiedenen Wegen zum Ziele gelangen. 



a) Wir verbinden (sielie Fig. 4) a mit s und bringen diese Ver- 

 bindungsgerade mit bb^ in c zum Sclmitt, Wird die Hypotenuse eb 

 eines aus den Katlieten mb, mc construirten rechtwinkligen Dreiecks 

 beiderseits m auf bb^ aufgetragen, so gehen die nach s gerichteten 

 Tangenten T, T^ von E durch die so erhaltenen Punkte d, d^. Der 

 Beweis resultirt aus dem bekannten Satze, dass die Šumme der Qua- 

 ch\ate zweier conjugirten Durchmesser der Ellipse constant und gleich 

 ist der Šumme der Quadrate ihrer Axen, angewendet auf die Pro- 

 jection der Ellipse und zurecht gelegt, fiir den besonderen Fall, wenn 

 die Projectionsrichtung parallel ist zur Ebene der Ellipse. In der 

 Figur wurde nur eine T von den beiden Tangenten gezeichnet und 

 wir erhal.ten ihren Beriihrungspunkt ^, indem wir die Ellipsentangente 

 a mit T in t zum Schnitt bringen und a^p \ \ zu mt ziehen. Oder : 

 Wir ziehen ch ] | zu a& und mp \ \ zu b-Ji. Denn es ist — wie schon 

 vorher bei Fig. 3 hervorgehoben wurde — im Raume (Ji) der Hohen- 

 schnitt des Dreiecks (aJCb-j^JC^l): wenn E als schiefe Projection des 

 Kreises gedeutet wird. 



Wáre umgekehrt aa-^, der dazu conjugirte Durchmesser bloss 

 der Lage nach und T gegeben, so kann man die Lange bbj^ erhalten, 

 indem man (siehe Fig. 4) die Lage des Durchmessers aus e mit der 

 Liinge 7nd durchschneidet. 



/3) Ist s der unendlich ferne Punkt der durch b (siehe Fig. 5) 

 gezeichneten Geraden bc und ch \ \ zu ab, so hat a Ji die Richtung 

 der gesuchten Polare 6'. Diese geht durch m und ist also der Lage 



