Klinogonale Darstelhing der Rotationsflácheu. 7 



y^ clie Parallele zu ^ bis zum Schnittpunkte y' mit xx^ gezogen unci 

 (lie durch y' zu xy.^ gelegte Parallele mit yy^ in h zum Schnitt ge- 

 braclit, so ist xji parallel zu clen Beriihrungssehnen aller Parallel- 

 kreisprojectionen mit der Contourcurve der Rotationsflache. Ob nun 

 der Punkt tc — der als Schnittpunkt von J mit der in a an M ge- 

 legten Tangente T erhalten wird — innerhalb oder ausserhalb der 

 Tafelgrenze liegt, ist ftir die Construction ganz gleicligiltig. Wir er- 

 halten (infolge Fig. 1) den Schnittpunkt « von aa^ mit P, indem wir 

 (siehe Fig. 8) ad\\ zu yy^ und da 1 1 zu T ziehen. Dadurch ist die 

 Polare P der Lage nach bestimmt; sie wird von T und ad in einem 

 homologen Punktepaar jener Involution geschnitten, von welcher die 

 gesuchten Beríihrungspunkte ^;pi die Doppelpunkte sind und deren 

 Centralpunkt n auf ^ liegt. Um die Úbersichtlichkeit der Figur zu 

 heben, haben wir P nicht mit T und ad sondern mit der Tangente 

 T^ (im Punkte a^ an M^ in 1 und der durch a J | zu yy.^ gezogenen 

 Geraden in 2 zum Schnitt gebracht. Dann ist: 



np'^ zzz ni . n2. 



Die Tangenten der Contourcurve in den gefundenen Punkten 

 ppy gehen durch tc und wir werden im nachfolgenden Art. einfache 

 Constructionen derselben fúr den Fall angeben, wenn n ausserhalb 

 der Tafelgrenze liegt. 



Im Punkte h der Curve M ist die Tangente T parallel zu ^. 

 Hier geht also P durch den Mittelpunkt m der zugehorigen Ellipse 

 Kb und wird von den durch 6j zu z/ und «/«/i parallel gezogenen 

 Geraden in den Punkten 3, 4 resp. geschnitten, welche die gesuchten 

 Beríihrungspunkte qq-^^ harmonisch trennen. Es ist also: 



mq^ zzi m3 . m4. 



Die Piiickkehrpunkte rr^. . . der Umrisslinie der Rotationsflache 

 liegen auf den Contouren jenes Cylinders, den die Geraden (P) im 

 Raume in ihrer Gesammtheit erzeugen und dessen Querschnitt (P^;) 

 auf der Ebene {^){x) den geometrischen Ort des Punktes (a) bildet. 

 Zur Bestimmung der Contourgeraden dieses Cylinders ist jedoch in 

 unserer Figur die Curve P^, weniger geeignet, als das Bild Fy seines 

 Schnittes, mit der Ebene {/í){y). Die Construction der Curve Fy be- 

 darf keiner erláuternden Auseinandersetzung. Der zu yy-^ parallele 

 Durchmesser von Ka wird mit der Beríihrungssehne pp-^^ zum Schnitt 

 gebracht; dieser Schnittpunkt /3 ist ein Punkt von Fy. 



